About: Cyclotomic field

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rdfs:label	Cyclotomic field (en) Extension cyclotomique (fr) Круговое поле (ru) 分圆域 (zh)
rdfs:comment	En théorie algébrique des nombres, on appelle extension cyclotomique du corps ℚ des nombres rationnels tout corps de rupture d'un polynôme cyclotomique, c'est-à-dire tout corps de la forme ℚ(ζ) où ζ est une racine de l'unité. Les extensions cyclotomiques peuvent aussi être définies pour d'autres corps : * pour les corps finis, la théorie est essentiellement complète ; * pour les corps locaux de caractéristique 0, elle est mieux comprise que pour le cas global ; * pour les corps de fonctions… (fr)
rdfs:seeAlso	http://mathworld.wolfram.com/CyclotomicField.html https://ncatlab.org/nlab/show/cyclotomic_field
sameAs	Cyclotomic field Cyclotomic field Cyclotomic field Cyclotomic field Cyclotomic field Cyclotomic field Cyclotomic field Cyclotomic field Cyclotomic field Cyclotomic field Cyclotomic field Cyclotomic field Cyclotomic field Cyclotomic field Cyclotomic field
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dbo:wikiPageWikiLink	category-fr:Corps_cyclotomiques Unique factorization domain Principal ideal domain Ring of integers modulo n dbpedia-fr:Automorphisme dbpedia-fr:Caractéristique_d'un_anneau Algebraic closure Composite field (mathematics) Congruence (integers) Conjecture Kummer–Vandiver conjecture dbpedia-fr:Corps_commutatif dbpedia-fr:Corps_de_décomposition dbpedia-fr:Corps_de_fonctions dbpedia-fr:Corps_de_nombres dbpedia-fr:Corps_de_rupture dbpedia-fr:Corps_fini dbpedia-fr:Corps_local dbpedia-fr:Corps_parfait Galois connection dbpedia-fr:Dernier_théorème_de_Fermat dbpedia-fr:Discriminant Divisibility (ring theory) dbpedia-fr:Décomposition_des_idéaux_premiers dbpedia-fr:Décomposition_des_idéaux_premiers_dans_les_extensions_galoisiennes Algebraic integer dbpedia-fr:Ernst_Kummer Abelian extension Algebraic extension Galois extension Quadratic extension Separable extension dbpedia-fr:Forme_trace Group (mathematics) Abelian group Galois group Ideal class group Group of units Euler's totient function Inverse limit dbpedia-fr:Morphisme_de_groupes Complex multiplication dbpedia-fr:Nombre_constructible dbpedia-fr:Nombre_de_Bernoulli dbpedia-fr:Nombre_de_Fermat dbpedia-fr:Nombre_p-adique dbpedia-fr:Nombre_premier_régulier dbpedia-fr:Nombre_rationnel Order (group theory) Regular polygon Cyclotomic polynomial dbpedia-fr:Racine_de_l'unité dbpedia-fr:Représentation_de_groupe dbpedia-fr:Théorie_algébrique_des_nombres dbpedia-fr:Théorie_d'Iwasawa dbpedia-fr:Théorème_de_Gauss-Wantzel Kronecker–Weber theorem Stickelberger's theorem dbpedia-fr:Tour_d'extensions_quadratiques dbpedia-fr:Équation_diophantienne
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prop-fr:contenu	* L'extension cyclotomique est aussi le corps de décomposition du polynôme. Elle est donc galoisienne. L'extension contient ζ et donc toutes ses puissances, or les puissances de ζ forment l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité et donc en particulier les racines primitives qui sont les racines du polynôme cyclotomique. Ceci démontre que ℚ est le corps de décomposition. Dans un corps parfait comme celui des rationnels un corps de décomposition est toujours une extension de Galois. * L'extension cyclotomique est abélienne. Soit d un entier plus petit que n et premier à n. Alors ζ est une racine du polynôme cyclotomique donc il existe un ℚ-automorphisme md du corps de décomposition ℚ qui envoie ζ sur ζ. Considérons alors l'application du groupe multiplicatif des éléments inversibles de ℤ/nℤ dans le groupe de Galois qui, à la classe de d associe l'automorphisme md. Cette application est clairement un isomorphisme de groupes. Cet isomorphisme montre que le groupe de Galois est abélien, ce qui termine la démonstration. (fr)
prop-fr:lienAuteur	André Weil (fr)
prop-fr:lienPériodique	Séminaire Bourbaki (fr)

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