. . . . "3656545"^^ . "Teorema di Poincar\u00E9-Bendixson"@it . . . . "Poincar\u00E9\u2013Bendixson theorem"@en . . "Th\u00E9or\u00E8me de Poincar\u00E9-Bendixson"@fr . "\u30DD\u30A2\u30F3\u30AB\u30EC\u30FB\u30D9\u30F3\u30C7\u30A3\u30AF\u30BD\u30F3\u306E\u5B9A\u7406"@ja . . . . . . . . . . . . . . . . "Teorema de Poincar\u00E9-Bendixson"@ca . . . . . . . "L'\u00E9quation v\u00E9rifie les conditions du th\u00E9or\u00E8me de Cauchy-Lipschitz. En effet, la fonction diff\u00E9rentielle df est continue, elle admet un majorant, not\u00E9 ici k, de sa norme,\nsur le compact K, car elle est continue et toute fonction continue, d\u00E9finie sur un compact est born\u00E9e . Le th\u00E9or\u00E8me des accroissements finis montre que la fonction f est k-lipschitzienne, ce qui montre que les hypoth\u00E8ses de th\u00E9or\u00E8me de Cauchy-Lipschitz sont bien respect\u00E9es.\n\n:* Une fonction s v\u00E9rifiant les hypoth\u00E8ses du th\u00E9or\u00E8me de Poincar\u00E9-Bendixson poss\u00E8de comme domaine de d\u00E9finition l'ensemble R tout entier :\nSoit I de domaine de d\u00E9finition de s, le th\u00E9or\u00E8me de Cauchy-Lipschitz montre que I est un intervalle ouvert non vide de R. La fonction s est uniform\u00E9ment continue sur I, on peut donc prolonger cette fonction sur l'adh\u00E9rence de I et ce prolongement est encore une solution de l'\u00E9quation diff\u00E9rentielle. Comme cette adh\u00E9rence contient I, et que s est une solution maximale, l'intervalle contient son adh\u00E9rence, autrement dit il est ferm\u00E9.\n\nLe seul ouvert, ferm\u00E9 non vide de R est R tout entier car R est connexe, ce qui montre que le domaine de d\u00E9finition de s est \u00E9gal \u00E0 R tout entier.\n\n:* Une fonction s v\u00E9rifiant les hypoth\u00E8ses du th\u00E9or\u00E8me de Poincar\u00E9-Bendixson et poss\u00E9dant un point double est p\u00E9riodique : \nSupposons qu'il existe deux nombres r\u00E9els \u03C4 et \u03B4 > 0 tel que s = s. Consid\u00E9rons la solution maximale de l'\u00E9quation avec la condition de Cauchy x = s. Elle admet deux solutions maximales, la fonction s et la fonction qui \u00E0 t associe s. Le th\u00E9or\u00E8me de Cauchy-Lipschitz garantit l'existence d'une unique solution. Ces deux solutions sont donc \u00E9gales, ce qui montre la p\u00E9riodicit\u00E9 de s."@fr . . . . . . . . "Satz von Poincar\u00E9-Bendixson"@de . . . . . . . . "En math\u00E9matiques, le th\u00E9or\u00E8me de Poincar\u00E9-Bendixson est un r\u00E9sultat qualitatif sur les \u00E9quations diff\u00E9rentielles. Il concerne les \u00E9quations du type (1) : x' = f(x) o\u00F9 f est une fonction continument d\u00E9rivable, du plan r\u00E9el dans lui-m\u00EAme et d\u00E9finie sur un ouvert \u03A9. Le th\u00E9or\u00E8me indique que si une solution maximale reste born\u00E9e, alors soit elle converge, soit son comportement asymptotique est celui d'une fonction p\u00E9riodique. Autrement dit, le plan est trop \u00E9troit pour admettre comme solutions d'\u00E9quations de type (1), des trajectoires chaotiques. Ce th\u00E9or\u00E8me est utilis\u00E9 pour l'\u00E9tude des syst\u00E8mes dynamiques. Il assure que toute une classe d'\u00E9quations, comme celle de Lotka-Volterra n'admet que des solutions simples (c'est-\u00E0-dire non chaotiques). En dimension 2, le chaos existe, mais pour l'obtenir il est plus simple de consid\u00E9rer une \u00E9quation aux diff\u00E9rences finies comme celle associ\u00E9e \u00E0 la suite logistique. Ce r\u00E9sultat ne se g\u00E9n\u00E9ralise pas \u00E0 la dimension trois, comme le montre le syst\u00E8me dynamique de Lorenz. Ce r\u00E9sultat est aussi utile en topologie alg\u00E9brique, il permet d'\u00E9tablir le th\u00E9or\u00E8me de la boule chevelue. Ce th\u00E9or\u00E8me est \u00E9nonc\u00E9 par Henri Poincar\u00E9 ; la preuve est finalement compl\u00E9t\u00E9e par Ivar Bendixson en 1901."@fr . . . . . . . . . . . . . . . . "190035464"^^ . . . . "Teorema de Poincar\u00E9-Bendixson"@es . "\u0422\u0435\u043E\u0440\u0435\u043C\u0430 \u041F\u0443\u0430\u043D\u043A\u0430\u0440\u0435 \u2014 \u0411\u0435\u043D\u0434\u0438\u043A\u0441\u043E\u043D\u0430"@uk . . . . . . . . . . . . . "En math\u00E9matiques, le th\u00E9or\u00E8me de Poincar\u00E9-Bendixson est un r\u00E9sultat qualitatif sur les \u00E9quations diff\u00E9rentielles. Il concerne les \u00E9quations du type (1) : x' = f(x) o\u00F9 f est une fonction continument d\u00E9rivable, du plan r\u00E9el dans lui-m\u00EAme et d\u00E9finie sur un ouvert \u03A9. Le th\u00E9or\u00E8me indique que si une solution maximale reste born\u00E9e, alors soit elle converge, soit son comportement asymptotique est celui d'une fonction p\u00E9riodique. Autrement dit, le plan est trop \u00E9troit pour admettre comme solutions d'\u00E9quations de type (1), des trajectoires chaotiques."@fr . "D\u00E9monstrations"@fr . . . . . . . . . . . . . . "27341"^^ .