. "Plan de d\u00E9monstration"@fr . "3586"^^ . "4184790"^^ . . . . . . . . . . . "En math\u00E9matiques, plus pr\u00E9cis\u00E9ment en alg\u00E8bre lin\u00E9aire, on sait qu'un espace vectoriel E de dimension finie est isomorphe \u00E0 son dual. En revanche, si E est de dimension infinie, il n'est jamais isomorphe \u00E0 son dual. Cela r\u00E9sulte du th\u00E9or\u00E8me d'Erd\u0151s-Kaplansky suivant : Th\u00E9or\u00E8me \u2014 Soit E un espace vectoriel de dimension infinie sur un corps K avec une base index\u00E9e par un ensemble I. Alors l'espace dual E* de E est de dimension : En remarquant que card(E*) est, lui aussi, \u00E9gal \u00E0 card (KI), on peut encore reformuler le th\u00E9or\u00E8me ainsi : Plan de d\u00E9monstration"@fr . . . . . . "Th\u00E9or\u00E8me d'Erd\u0151s-Kaplansky"@fr . . "En math\u00E9matiques, plus pr\u00E9cis\u00E9ment en alg\u00E8bre lin\u00E9aire, on sait qu'un espace vectoriel E de dimension finie est isomorphe \u00E0 son dual. En revanche, si E est de dimension infinie, il n'est jamais isomorphe \u00E0 son dual. Cela r\u00E9sulte du th\u00E9or\u00E8me d'Erd\u0151s-Kaplansky suivant : Th\u00E9or\u00E8me \u2014 Soit E un espace vectoriel de dimension infinie sur un corps K avec une base index\u00E9e par un ensemble I. Alors l'espace dual E* de E est de dimension : En remarquant que card(E*) est, lui aussi, \u00E9gal \u00E0 card (KI), on peut encore reformuler le th\u00E9or\u00E8me ainsi : Soit E un espace vectoriel de dimension infinie. Alors la dimension et le cardinal de son espace dual sont \u00E9gaux, c'est-\u00E0-dire dim (E*) = card (E*). Plan de d\u00E9monstration (Pour une d\u00E9monstration d\u00E9taill\u00E9e, voir par exemple le lien externe ci-dessous). On utilisera l'axiome du choix (n\u00E9cessaire d'embl\u00E9e pour parler de dimension) et les propri\u00E9t\u00E9s des cardinaux vis-\u00E0-vis des op\u00E9rations ensemblistes. \n* On montre d'abord que E est isomorphe \u00E0 l'anneau de polyn\u00F4mes , autrement dit, que la dimension (d'espace vectoriel) de cet anneau est non seulement, bien s\u00FBr, minor\u00E9e par card(I), mais en fait, \u00E9gale \u00E0 ce cardinal. En effet, cet anneau est la r\u00E9union des quand J parcourt l'ensemble des parties finies de I, or chacun de ces sous-espaces est de dimension d\u00E9nombrable, donc la dimension de leur r\u00E9union est major\u00E9e par . \n* On en d\u00E9duit que le dual de E est isomorphe \u00E0 celui de . Or la dimension de ce dernier est minor\u00E9e par card(KI), car il contient une famille libre de formes lin\u00E9aires index\u00E9e par KI : la famille des applications d'\u00E9valuation fa en chaque \u00E9l\u00E9ment a = (ai )i de KI, chacune \u00E9tant d\u00E9finie par : fa(P)=P(a). \n* Par ailleurs, directement, E* est isomorphe \u00E0 KI (donc a m\u00EAme cardinal) et d'autre part, E* est de dimension inf\u00E9rieure ou \u00E9gale \u00E0 son cardinal (comme tout espace vectoriel). \n* Finalement, ce qui prouve le th\u00E9or\u00E8me. \n* Par cons\u00E9quent E n'est pas isomorphe \u00E0 son dual, puisqu'il est de dimension strictement moindre, par le th\u00E9or\u00E8me de Cantor."@fr . . . . . . . . . . . "Satz von Erd\u0151s-Kaplansky"@de . . "107798866"^^ . ". On utilisera l'axiome du choix et les propri\u00E9t\u00E9s des cardinaux vis-\u00E0-vis des op\u00E9rations ensemblistes.\n*On montre d'abord que E est isomorphe \u00E0 l'anneau de polyn\u00F4mes , autrement dit, que la dimension de cet anneau est non seulement, bien s\u00FBr, minor\u00E9e par card, mais en fait, \u00E9gale \u00E0 ce cardinal. En effet, cet anneau est la r\u00E9union des quand J parcourt l'ensemble des parties finies de I, or chacun de ces sous-espaces est de dimension d\u00E9nombrable, donc la dimension de leur r\u00E9union est major\u00E9e par .\n*On en d\u00E9duit que le dual de E est isomorphe \u00E0 celui de . Or la dimension de ce dernier est minor\u00E9e par card, car il contient une famille libre de formes lin\u00E9aires index\u00E9e par KI : la famille des applications d'\u00E9valuation fa en chaque \u00E9l\u00E9ment a = i de KI, chacune \u00E9tant d\u00E9finie par : fa=P.\n*Par ailleurs, directement, E* est isomorphe \u00E0 KI et d'autre part, E* est de dimension inf\u00E9rieure ou \u00E9gale \u00E0 son cardinal .\n*Finalement, ce qui prouve le th\u00E9or\u00E8me.\n*Par cons\u00E9quent E n'est pas isomorphe \u00E0 son dual, puisqu'il est de dimension strictement moindre, par le th\u00E9or\u00E8me de Cantor."@fr . . . . . .