. . . . . . . . . . . . . . "En math\u00E9matiques, la formule de Riemann-Hurwitz, nomm\u00E9e en l'honneur des math\u00E9maticiens Bernhard Riemann et Adolf Hurwitz, d\u00E9crit les relations entre les caract\u00E9ristiques d'Euler de deux surfaces lorsque l'une est un rev\u00EAtement ramifi\u00E9 de l'autre. Ceci, par cons\u00E9quent, relie la ramification avec la topologie alg\u00E9brique dans ce cas. C'est un prototype de r\u00E9sultat pour beaucoup d'autres, et est souvent appliqu\u00E9 dans la th\u00E9orie des surfaces de Riemann (qui est son origine) et des courbes alg\u00E9briques. Pour une surface orientable S, la caract\u00E9ristique d'Euler est , 0 = 2.2 - \u03A3 1, ,"@fr . "Formule de Riemann-Hurwitz"@fr . . . . . . . "181501887"^^ . . . . . . . . . . . . . "4644"^^ . . . . . "En math\u00E9matiques, la formule de Riemann-Hurwitz, nomm\u00E9e en l'honneur des math\u00E9maticiens Bernhard Riemann et Adolf Hurwitz, d\u00E9crit les relations entre les caract\u00E9ristiques d'Euler de deux surfaces lorsque l'une est un rev\u00EAtement ramifi\u00E9 de l'autre. Ceci, par cons\u00E9quent, relie la ramification avec la topologie alg\u00E9brique dans ce cas. C'est un prototype de r\u00E9sultat pour beaucoup d'autres, et est souvent appliqu\u00E9 dans la th\u00E9orie des surfaces de Riemann (qui est son origine) et des courbes alg\u00E9briques. Pour une surface orientable S, la caract\u00E9ristique d'Euler est o\u00F9 g est le genre (le nombre de trous), puisque les nombres de Betti sont 1, 2g, 1, 0, 0, ...Dans le cas d'un rev\u00EAtement non ramifi\u00E9 de surfaces qui est surjectif et de degr\u00E9 N, nous avons , parce que chaque simplexe de S doit \u00EAtre couvert par exactement N dans S\u2032 \u2014 au moins si nous utilisons une triangulation suffisamment bonne de S, comme nous avons le droit de le faire puisque la caract\u00E9ristique d'Euler est un invariant topologique. Ce que fait la formule de Riemann-Hurwitz, est d'ajouter une correction qui tienne compte de la ramification (feuilles se rejoignant). Proche d'un point P de S o\u00F9 e feuilles se rejoignent, \u00E9tant appel\u00E9 l'indice de ramification, nous notons la perte de copies de P au-dessus de P (dans ). Par cons\u00E9quent, nous pouvons pr\u00E9voir une formule \u00AB corrig\u00E9e \u00BB la somme \u00E9tant prise sur tous les P dans S (presque tous les P ont donc la somme est finie). Ceci est la formule de Riemann-Hurwitz, mais pour un cas particulier \u2013 bien qu'important : celui o\u00F9 il existe juste un point o\u00F9 les feuilles au-dessus de P se rejoignent, ou de mani\u00E8re \u00E9quivalente la monodromie locale est une permutation circulaire). Dans le cas le plus g\u00E9n\u00E9ral, la somme finale doit \u00EAtre remplac\u00E9e par la somme de termes o\u00F9 est le nombre de points de S\u2032 au-dessus de P, ou de mani\u00E8re \u00E9quivalente le nombre de cycles de la monodromie locale agissant sur les feuilles. Par exemple, toute courbe elliptique (genre 1) s'applique vers la droite projective (genre 0) comme un double rev\u00EAtement (N = 2), avec une ramification \u00E0 seulement quatre points, o\u00F9 e = 2. Nous pouvons v\u00E9rifier que ceci donne 0 = 2.2 - \u03A3 1, avec la somme prise sur les quatre valeurs de P. Ce rev\u00EAtement provient de la fonction de Weierstrass qui est une fonction m\u00E9romorphe, consid\u00E9r\u00E9e comme \u00E0 valeurs dans la sph\u00E8re de Riemann. La formule peut aussi \u00EAtre utilis\u00E9e pour v\u00E9rifier la valeur de la formule du genre des courbes hyperelliptiques. Un autre exemple : la sph\u00E8re de Riemann s'applique sur elle-m\u00EAme par la fonction , d'indice de ramification n en 0, pour tout entier n > 1. Le seul autre point de ramification possible est le point \u00E0 l'infini. Pour \u00E9quilibrer l'\u00E9quation , l'indice de ramification en l'infini doit \u00EAtre lui aussi \u00E9gal \u00E0 n. La formule peut \u00EAtre utilis\u00E9e pour d\u00E9montrer des th\u00E9or\u00E8mes. Par exemple, elle montre imm\u00E9diatement qu'une courbe de genre 0 ne poss\u00E8de pas de rev\u00EAtement avec N > 1 qui soit non ramifi\u00E9 partout : parce que cela donnerait lieu \u00E0 une caract\u00E9ristique d'Euler > 2. Pour une correspondance de courbes, il existe une formule plus g\u00E9n\u00E9rale, le th\u00E9or\u00E8me de Zeuthen, qui donne une correction de la premi\u00E8re approximation de la ramification en \u00E9non\u00E7ant en que les caract\u00E9ristiques d'Euler sont en rapport inverse des degr\u00E9s des correspondances."@fr . . . . . "1064915"^^ . . . . . . . .