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Statements

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dbpedia-fr:Théorème_de_Cayley-Hamilton
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Teorema di Hamilton-Cayley Теорема Гамільтона — Келі Teorema de Cayley-Hamilton ケイリー・ハミルトンの定理 Satz von Cayley-Hamilton Teorema de Cayley-Hamilton Stelling van Cayley-Hamilton Théorème de Cayley-Hamilton
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En algèbre linéaire, le théorème de Cayley-Hamilton affirme que tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif quelconque annule son propre polynôme caractéristique. En termes de matrice, cela signifie que si A est une matrice carrée d'ordre n et si est son polynôme caractéristique (polynôme d'indéterminée X), alors en remplaçant formellement X par la matrice A dans le polynôme, le résultat est la matrice nulle : Le théorème de Cayley-Hamilton s'applique aussi à des matrices carrées à coefficients dans un anneau commutatif quelconque.
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* Soit , et soit K un corps algébriquement clos contenant R . * Le polynôme V est à racines simples dans K car son discriminant est non nul. En effet, puisque le résultant de deux polynômes de degrés donnés s'écrit comme un polynôme universel en leurs coefficients, le discriminant de V s'écrit lui aussi comme un polynôme universel tel que pour toute matrice A, le discriminant de soit égal à . Or il existe des matrices A pour lesquelles : par exemple la matrice diagonale à coefficients entiers, de diagonale 1, 2, ... , n. * La matrice Y est donc diagonalisable sur K : avec P inversible et D diagonale, donc pour D le théorème de Cayley-Hamilton est immédiat, ce qui permet de conclure :
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Démonstration générique
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Une démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
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Réduction des endomorphismes/Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique#Polynôme caractéristique
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En algèbre linéaire, le théorème de Cayley-Hamilton affirme que tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif quelconque annule son propre polynôme caractéristique. En termes de matrice, cela signifie que si A est une matrice carrée d'ordre n et si est son polynôme caractéristique (polynôme d'indéterminée X), alors en remplaçant formellement X par la matrice A dans le polynôme, le résultat est la matrice nulle : Le théorème de Cayley-Hamilton s'applique aussi à des matrices carrées à coefficients dans un anneau commutatif quelconque. Un corollaire important du théorème de Cayley-Hamilton affirme que le polynôme minimal d'une matrice donnée est un diviseur de son polynôme caractéristique. Bien qu'il porte les noms des mathématiciens Arthur Cayley et William Hamilton, la première démonstration du théorème est donnée par Ferdinand Georg Frobenius en 1878, Cayley l'ayant principalement utilisé dans ses travaux, et Hamilton l'ayant démontré en dimension 2.