| prop-fr:contenu
| - La probabilité qu'une particule occupe le niveau d'énergie Ej est donnée par la distribution de Boltzmann :
:.
kb est la constante de Boltzmann et Z un facteur de normalisation qui assure que la somme sur toutes les probabilités est égale à 1. Pour un système constitué de N particules, le nombre de particules dans l'état Ej est nj = N Pj.
Une particule de gaz de masse m a dans le champ de pesanteur une énergie potentielle Epot=mgh et, à cause de sa température dans le milieu, une énergie thermique Eth; donc au total, une énergie E=mgh+Eth. Si l'on considère deux volumes élémentaires de même taille à des altitudes h0 et h1, les particules à l'altitude h1 ont une énergie supérieure de mgΔh. Le rapport des probabilités de présence d'une particule dans le volume à h1 et dans le volume à h0 vaut donc :
:.
Pour un nombre de particules N suffisamment grand, la densité de particules n se comporte comme les probabilités de présence :
:,
et d'après la loi des gaz parfaits , la pression obéit à la même relation :
:
Dans cette équation, on passe de la masse et de la constante de Boltzmann à la masse molaire et à la constante des gaz parfaits en multipliant ces grandeurs par le nombre d'Avogadro NA. (fr)
- thumb|volume élémentaire, notations et forces appliquées
Pour l'établir, considérons un volume élémentaire de surface de base A et de hauteur infinitésimale dh, contenant de l'air de masse volumique ρ. Le poids dP de ce volume d'air est donné par .
En dessous du volume s'exerce une force vers le haut due à la pression atmosphérique p. La force exercée vers le bas par la pression atmosphérique sur le dessus du volume est .
Nous n'avons pas besoin de considérer les forces de pression qui s'exercent sur les côtés du volume élémentaire, car elles s'équilibrent.
A l'équilibre hydrostatique, la somme vectorielle des forces qui s'exercent sur le volume élémentaire est nulle :
soit .
On obtient donc la relation : .
D'après la loi des gaz parfaits, la masse volumique de l'air s'écrit : . Ainsi : (fr)
- D'après l'équation barométrique et pour une transformation adiabatique telle que , on a :
Une solution est :
: (fr)
- :,
avec le rayon de la Terre.
L'intégration de
:
donne
: (fr)
- L'intégration du terme de droite de l'équation barométrique donne :
:.
Comme
:
le calcul de l'intégrale donne
:,
donc finalement, l'intégration de l'équation barométrique
:
donne :
:,
ou encore, comme : (fr)
- Pour T constant, l'intégration de l'équation barométrique donne : (fr)
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