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<http://fr.dbpedia.org/resource/Valeur_spectrale>	<http://dbpedia.org/ontology/wikiPageWikiLink>	<http://fr.dbpedia.org/resource/Topologie_d\u0027un_espace_vectoriel_de_dimension_finie> .
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<http://fr.dbpedia.org/resource/Valeur_spectrale>	<http://www.w3.org/2000/01/rdf-schema#label>	"Valeur spectrale"@fr .
<http://fr.dbpedia.org/resource/Valeur_spectrale>	<http://dbpedia.org/ontology/abstract>	"En math\u00E9matiques, pour un espace de Banach E et un endomorphisme continu u de E, on dit que \u03BB est une valeur spectrale de u si l'endomorphisme u \u2013 \u03BBId n'a pas un inverse qui soit un endomorphisme continu. Si E est de dimension finie, tous les endomorphismes de E sont continus et tout endomorphisme de E injectif est bijectif, par cons\u00E9quent la notion de valeur spectrale se confond avec celle de valeur propre. Dans le cas g\u00E9n\u00E9ral, si u \u2013 \u03BBId a un inverse alors cet inverse est automatiquement lin\u00E9aire, et (par le th\u00E9or\u00E8me de l'application ouverte) continu. Cette pr\u00E9cision peut donc \u00EAtre \u00F4t\u00E9e de la d\u00E9finition initiale (elle n'intervient \u00E0 nouveau que lorsqu'on cherche \u00E0 \u00E9tendre la d\u00E9finition \u00E0 un op\u00E9rateur u non born\u00E9) : \n* les valeurs spectrales de u sont simplement les \u03BB tels que u \u2013 \u03BBId ne soit pas bijectif. Les valeurs propres correspondent au cas u \u2013 \u03BBId non injectif. C'est parfois le seul cas : \n* pour un op\u00E9rateur compact, toute valeur spectrale non nulle est valeur propre. Le cas (non disjoint) u \u2013 \u03BBId non surjectif peut se reformuler en : son image est non ferm\u00E9e ou non dense (\u00E0 nouveau, ce \u00AB ou \u00BB est non exclusif). Or un op\u00E9rateur born\u00E9 T est \u00E0 la fois injectif et d'image ferm\u00E9e si et seulement s'il est born\u00E9 inf\u00E9rieurement, c'est-\u00E0-dire si et seulement s'il existe une constante C > 0 telle que pour tout vecteur x, la norme de Tx soit sup\u00E9rieure ou \u00E9gale \u00E0 celle de Cx. D\u00E9monstration Par d\u00E9finition, T est born\u00E9 inf\u00E9rieurement si et seulement s'il est injectif et si l'application lin\u00E9aire Tx \u21A6 x, de T(E) dans E, est continue. Si tel est le cas, T(E) est ferm\u00E9 car complet, puisqu'uniform\u00E9ment isomorphe \u00E0 E. R\u00E9ciproquement, si T est injectif et d'image ferm\u00E9e dans E (donc compl\u00E8te) alors, par le th\u00E9or\u00E8me de Baire-Banach, Tx \u21A6 x est continue de T(E) dans E. Inversement, T est non injectif ou d'image non ferm\u00E9e s'il n'est pas born\u00E9 inf\u00E9rieurement, ce qui \u00E9quivaut \u00E0 l'existence d'une suite de vecteurs unitaires xn tels que Txn \u2192 0. Les \u03BB tels que u \u2013 \u03BBId ne soit pas born\u00E9 inf\u00E9rieurement s'appellent les valeurs propres approch\u00E9es de u. On peut donc reformuler : \n* les valeurs spectrales de u sont ses valeurs propres approch\u00E9es et les \u03BB tels que l'image de u \u2013 \u03BBId ne soit pas dense. Une valeur spectrale peut v\u00E9rifier simultan\u00E9ment ces deux conditions. Les valeurs spectrales r\u00E9siduelles (celles qui ne sont pas valeurs propres approch\u00E9es) sont difficiles \u00E0 caract\u00E9riser, mais on dispose du th\u00E9or\u00E8me suivant : \n* pour un op\u00E9rateur normal sur un espace de Hilbert, les seules valeurs spectrales sont les valeurs propres approch\u00E9es. Un exemple de valeur spectrale r\u00E9siduelle : 0 est une valeur spectrale r\u00E9siduelle pour une isom\u00E9trie non surjective, par exemple pour l'op\u00E9rateur de d\u00E9calage sur \u21132 qui envoie (x0, x1, \u2026) sur (0, x0, x1, \u2026)."@fr .
<http://fr.dbpedia.org/resource/Valeur_spectrale>	<http://dbpedia.org/ontology/wikiPageWikiLink>	<http://fr.dbpedia.org/resource/Th\u00E9or\u00E8me_de_Banach-Schauder> .
<http://fr.dbpedia.org/resource/Valeur_spectrale>	<http://dbpedia.org/ontology/wikiPageWikiLink>	<http://fr.dbpedia.org/resource/Rayon_spectral> .
<http://fr.dbpedia.org/resource/Valeur_spectrale>	<http://dbpedia.org/ontology/wikiPageWikiLink>	<http://fr.dbpedia.org/resource/Surjection> .
<http://fr.dbpedia.org/resource/Valeur_spectrale>	<http://dbpedia.org/ontology/wikiPageWikiLink>	<http://fr.dbpedia.org/resource/Application_identit\u00E9> .
<http://fr.dbpedia.org/resource/Valeur_spectrale>	<http://www.w3.org/2000/01/rdf-schema#comment>	"En math\u00E9matiques, pour un espace de Banach E et un endomorphisme continu u de E, on dit que \u03BB est une valeur spectrale de u si l'endomorphisme u \u2013 \u03BBId n'a pas un inverse qui soit un endomorphisme continu. Si E est de dimension finie, tous les endomorphismes de E sont continus et tout endomorphisme de E injectif est bijectif, par cons\u00E9quent la notion de valeur spectrale se confond avec celle de valeur propre. \n* les valeurs spectrales de u sont simplement les \u03BB tels que u \u2013 \u03BBId ne soit pas bijectif. Les valeurs propres correspondent au cas u \u2013 \u03BBId non injectif. C'est parfois le seul cas :"@fr .
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