. . "Helmut Bender"@fr . . "Le th\u00E9or\u00E8me p-q de Burnside"@fr . . . . . . . . . "Helmut Bender"@fr . . . . . . "Stelling van Burnside"@nl . "Beno\u00EEt Claudon"@fr . . . . "D\u00E9tails"@fr . "Peter Webb"@fr . . "9646"^^ . "\u30D0\u30FC\u30F3\u30B5\u30A4\u30C9\u306E\u5B9A\u7406"@ja . . . "Th\u00E9orie des groupes/Le th\u00E9or\u00E8me p-q de Burnside"@fr . "David Goldschmitt"@fr . . "Helmut Bender"@fr . . . . . . . . "en"@fr . . "David Goldschmitt"@fr . "1456325"^^ . . . . . . . . "Raisonnons par l'absurde : G d\u00E9signe un groupe non r\u00E9soluble d'ordre pq minimal.\n\n:*G est un groupe simple de centre {1} et n est non nul.\nG n'est bien s\u00FBr pas trivial. S'il existait dans G un sous-groupe normal H diff\u00E9rent de G et de {1} alors , H et G/H seraient r\u00E9solubles donc G aussi, ce qui est exclu. Donc G est simple.\n\nSi n \u00E9tait nul, G serait un q-groupe fini, donc nilpotent, donc r\u00E9soluble, ce qui est exclu.\n\nEnfin, G n'est pas ab\u00E9lien , donc son centre n'est pas \u00E9gal \u00E0 G tout entier. Par simplicit\u00E9 de G, il est \u00E9gal \u00E0 {1}.\n\n:* Il existe dans G un \u00E9l\u00E9ment g dont le nombre de conjugu\u00E9s est de la forme qd pour un certain d > 0.\n\nL'un des th\u00E9or\u00E8mes de Sylow montre que G contient un sous-groupe S d'ordre pn. Comme S est un p-groupe non trivial, son centre Z est encore non trivial. Fixons alors dans Z un \u00E9l\u00E9ment g diff\u00E9rent de 1. Le nombre de conjugu\u00E9s de g est \u00E9gal \u00E0 l'indice du centralisateur de g, qui divise l'indice qm de son sous-groupe S. Ce nombre est donc de la forme qd. De plus, l'entier d est strictement positif car g est diff\u00E9rent de 1 donc non central dans G.\n\n:* Il existe un caract\u00E8re irr\u00E9ductible \u03C7 non trivial, tel que l'entier \u03C7 ne soit pas divisible par q et que le complexe \u03C7 soit non nul.\n\nSoit 1\u2264i\u2264h la famille des caract\u00E8res irr\u00E9ductibles de G . Comme g n'est pas dans la m\u00EAme classe de conjugaison que le neutre 1, la relation d'orthogonalit\u00E9 sur les colonnes de la du groupe donne : \n\n\n\nOr les \u03C7i sont des entiers alg\u00E9briques, comme sommes de racines de l'unit\u00E9. Si tous les caract\u00E8res irr\u00E9ductibles non triviaux qui ne s'annulent pas en g prenaient en 1 une valeur multiple de q, on en d\u00E9duirait que le nombre\n\nest un entier alg\u00E9brique , ce qui est absurde. Cette contradiction d\u00E9montre la proposition.\n\n:* Le nombre complexe qd\u03C7/\u03C7 est un entier alg\u00E9brique.\n\nSoit u l'\u00E9l\u00E9ment de l'alg\u00E8bre du groupe G sur les nombres complexes \u00E9gal \u00E0 la somme des qd \u00E9l\u00E9ments de la classe de conjugaison cg de g. D'apr\u00E8s le paragraphe Entier alg\u00E9brique de l'article Alg\u00E8bre d'un groupe fini, le complexe suivant est alors un entier alg\u00E9brique :\n\n\n:* Le nombre complexe \u03C7/\u03C7 est un entier alg\u00E9brique.\n\nEn effet, q \u00E9tant premier avec \u03C7, le th\u00E9or\u00E8me de Bachet-B\u00E9zout montre l'existence de deux entiers a et b tels que :\n\nLa valeur recherch\u00E9e est donc combinaison lin\u00E9aire \u00E0 coefficients entiers d'entiers alg\u00E9briques, ce qui d\u00E9montre la proposition.\n\n:* L'image de g, par la repr\u00E9sentation \u03C1 de caract\u00E8re \u03C7, est une homoth\u00E9tie.\n\nNotons \u03B6 le nombre complexe \u03C7/\u03C7. C'est un entier alg\u00E9brique non nul, donc sa norme N est un entier relatif non nul. Or \u03B6 est une moyenne arithm\u00E9tique de racines de l'unit\u00E9 , donc ses conjugu\u00E9s aussi, donc tous sont de module inf\u00E9rieur ou \u00E9gal \u00E0 1. Comme leur produit N est de module sup\u00E9rieur ou \u00E9gal \u00E0 1, tous sont en fait de module 1, en particulier \u03B6, ce qui signifie que les valeurs propres de \u03C1 sont \u00E9gales, donc que \u03C1 est une homoth\u00E9tie.\n\n:* Conclusion'\nSoit N le noyau de \u03C1. L'homoth\u00E9tie \u03C1 est centrale dans Im , alors que g n'est pas central dans G. Par cons\u00E9quent, le sous-groupe normal N du groupe simple G est non trivial, donc \u00E9gal \u00E0 G'', si bien que la repr\u00E9sentation \u03C1 est triviale, ce qui contredit le choix de \u03C7 .\n\nCette contradiction d\u00E9montre le th\u00E9or\u00E8me."@fr . . "http://www.iecl.univ-lorraine.fr/~Benoit.Claudon/burnside.pdf|titre=Deux r\u00E9sultats de Burnside"@fr . . "En math\u00E9matiques, le th\u00E9or\u00E8me de Burnside appartient \u00E0 la th\u00E9orie des groupes finis. Son \u00E9nonc\u00E9 est : Th\u00E9or\u00E8me \u2014 Si p et q sont deux nombres premiers et n et m deux entiers positifs, alors tout groupe d'ordre pnqm est r\u00E9soluble. Il est nomm\u00E9 en l'honneur de William Burnside, qui l'a d\u00E9montr\u00E9 en 1904, \u00E0 l'aide de la th\u00E9orie des repr\u00E9sentations d'un groupe fini."@fr . "Th\u00E9or\u00E8me de Burnside (groupe r\u00E9soluble)"@fr . . . . . . . "de"@fr . "190349664"^^ . . . . . . . . . . . . "En math\u00E9matiques, le th\u00E9or\u00E8me de Burnside appartient \u00E0 la th\u00E9orie des groupes finis. Son \u00E9nonc\u00E9 est : Th\u00E9or\u00E8me \u2014 Si p et q sont deux nombres premiers et n et m deux entiers positifs, alors tout groupe d'ordre pnqm est r\u00E9soluble. Il est nomm\u00E9 en l'honneur de William Burnside, qui l'a d\u00E9montr\u00E9 en 1904, \u00E0 l'aide de la th\u00E9orie des repr\u00E9sentations d'un groupe fini."@fr . . . . . . . . "David Goldschmitt"@fr . . . . "http://math.uchicago.edu/~margalit/repthy/Webb,%20Finite%20group%20reps%20for%20the%20pure%20mathematician.pdf|titre=Finite Group Representations for the Pure Mathematician"@fr . . . . . . . . . "Satz von Burnside"@de . . .