"Origine du signe contre-intuitif"@fr . "En relativit\u00E9 restreinte, le principe de moindre action pour un point mat\u00E9riel donne des \u00E9quations d'Euler-Lagrange tr\u00E8s semblables \u00E0 celles de la m\u00E9canique classique, mais le lagrangien n'est plus \u00E9gal \u00E0 la diff\u00E9rence entre l'\u00E9nergie cin\u00E9tique et l'\u00E9nergie potentielle. En fait, le principe de moindre action se base dans ce cas seulement sur l'existence d'une trajectoire continue, param\u00E9tr\u00E9e par le temps, qui minimise une fonction ou la diff\u00E9rence entre des fonctions du syst\u00E8me \u00E9tudi\u00E9 (on peut g\u00E9n\u00E9raliser \u00E0 un syst\u00E8me de points), d\u00E9termin\u00E9es \u00E0 partir de principes g\u00E9n\u00E9raux, tels que par exemple :"@fr . "\u00C9quations du mouvement par la m\u00E9thode de Hamilton"@fr . . . . . "D\u00E9tails pour d\u00E9terminer la densit\u00E9 lagrangienne \u00E0 utiliser"@fr . . . . . . . . "* On peut consid\u00E9rer : .\n\n: Puis en utilisant les \u00E9quations d'Euler-Lagrange : et le lemme de Schwarz : on obtient :\n:: .\n\n: L'\u00E9galit\u00E9 permet finalement d'\u00E9crire :\n\n:: ."@fr . "3213060"^^ . . . . "* Pour contourner l'ambigu\u00EFt\u00E9 de l'\u00E9criture formelle avec , on peut choisir un param\u00E8tre \u00AB arbitraire \u00BB, en notant avec , quitte \u00E0 consid\u00E9rer ensuite la limite par continuit\u00E9.\n\n* Il faut toutefois prendre garde que dans ce cas le param\u00E8tre n'est pas \u00AB muet \u00BB. D\u00E8s lors qu'on choisit un param\u00E8tre \u00AB quelconque \u00BB , il faut respecter la condition : . Ceci impose : .\n\n: On peut alors utiliser pour obtenir : .\n\n: Ceci correspond \u00E0 une quadri-impulsion : . Le r\u00E9sultat pour ne correspond pas \u00E0 la limite pour .\n\n:\u2666 remarque : cela \u00E9tait pr\u00E9visible puisque le passage au lagrangien quadratique utilise une multiplication opportuniste par , inad\u00E9quate pour .\n:\u2666 remarque : la param\u00E9trisation directement par est possible sans le coefficient mais elle ne donne pas un lagrangien quadratique."@fr . "* Pour contourner l'ambigu\u00EFt\u00E9 de l'\u00E9criture formelle avec , on peut choisir un param\u00E8tre \u00AB arbitraire \u00BB, en notant avec , quitte \u00E0 consid\u00E9rer ensuite la limite par continuit\u00E9.\n\n* Les quantit\u00E9s candidates pour d\u00E9finir la quadri-impulsion \u00AB conjugu\u00E9e \u00BB semblent alors \u00EAtre : . Le fait de passer par l'interm\u00E9diaire de ne change rien ."@fr . "* Cette \u00E9tranget\u00E9 de signe provient de la fa\u00E7on un peu trop simple avec laquelle l'impulsion est d\u00E9finie en m\u00E9canique classique, puis g\u00E9n\u00E9ralis\u00E9e \u00E0 la m\u00E9canique relativiste quand on n'utilise pas les notations quadrivectorielles. Quand on \u00E9crit dans ce cadre : \u201C=\u201D , on l'interpr\u00E8te comme : \u201C=\u201D .\n\n: Or ceci devient ici incoh\u00E9rent, puisque dans un changement de coordonn\u00E9es , la grandeur contrevariante subit la transformation inverse de celle \u00E0 appliquer \u00E0 la quantit\u00E9 covariante .\n\n: On devrait donc maintenant d\u00E9finir ces \"impulsions conjugu\u00E9es\" par , afin que cela corresponde \u00E0 .\n\n* Puisque , pour justifier que ce signe s'applique aussi \u00E0 , on peut consid\u00E9rer la relation entre l'action et l'\u00E9nergie-impulsion, avec l'\u00E9criture quadrivectorielle : .\n\n: Ceci montre que de fa\u00E7on sym\u00E9trique .\n\n: \u2666 remarque : ceci montre aussi que le changement de signe de ne ferait que d\u00E9placer l'\u00E9tranget\u00E9 de signe sur la coordonn\u00E9e temporelle au lieu des coordonn\u00E9es spatiales."@fr . "69495"^^ . . . . . "D\u00E9monstration des \u00E9quations d'Euler-Lagrange pour une densit\u00E9 lagrangienne"@fr . . . . . . "Principe de moindre action et relativit\u00E9 restreinte"@fr . "* D'un premier point de vue, on peut utiliser le fait que pour \u00E9crire formellement : .\n: On obtient alors : ; ceci n'est pas conforme \u00E0 la description de Hamilton.\n: \u2666 remarque : on obtient ici de fa\u00E7on un peu inattendue une expression sans radical.\n\n* Mais pour contourner l'ambigu\u00EFt\u00E9 de l'\u00E9criture formelle, on peut choisir un param\u00E8tre \u00AB arbitraire \u00BB, en notant avec , puis consid\u00E9rer ensuite la limite par continuit\u00E9.\n\n: Le hamiltonien peut alors s'\u00E9crire : .\n: En choisissant maintenant une param\u00E9trisation par et en utilisant le fait qu'alors on peut \u00E9crire formellement : .\n: On obtient alors : ; ceci est conforme \u00E0 la description de Hamilton.\n: \u2666 remarque : on obtient ici de fa\u00E7on un peu plus attendue une expression avec radical.\n\n* Tout ceci ressemble toutefois surtout \u00E0 du bricolage formel, pouvant difficilement servir de base de raisonnement convaincante."@fr . . . . . . . . . . . "D\u00E9monstration des \u00E9quations du mouvement d'une particule dans un champ \u00E9lectromagn\u00E9tique"@fr . . . . . . . "* On cherche la densit\u00E9 lagrangienne du champ \u00E9lectromagn\u00E9tique qui est compos\u00E9 du ou des nombres construits \u00E0 partir du potentiel \u00E9lectromagn\u00E9tique qui sont invariants par changement de r\u00E9f\u00E9rentiel dans l'espace de Minkowski.\n\n: La manifestation de ce potentiel correspond au champ \u00E9lectrique et le champ magn\u00E9tique . \n\n* On cherche donc les nombres invariants construits \u00E0 partir de la matrice 4\u00D74 associ\u00E9e : .\n\n: Les coefficients du polyn\u00F4me caract\u00E9ristique sont invariants par la transformation d'endomorphismes , o\u00F9 est la matrice de Lorentz du changement de base dans l'espace de Minkowski, c'est-\u00E0-dire de r\u00E9f\u00E9rentiel galil\u00E9en en relativit\u00E9 restreinte.\n\n: Les invariants de cette matrice par les changements de base sont les coefficients de son polyn\u00F4me caract\u00E9ristique .\n\n: On sait, par la d\u00E9finition de ses coefficients, que cette matrice est anti-sym\u00E9trique : .\n\n: On en d\u00E9duit que est un polyn\u00F4me pair. Soit : .\n\n: Par quelques calculs, on montre que et que .\n\n* Pour une raison de dimension , le nombre ne convient pas , il faudrait essayer avec .\n\n: Mais par ailleurs on peut montrer que est la 4-divergence d'une 4-fonction, donc son ajout \u00E0 la densit\u00E9 lagrangienne ne changerait en rien les \u00E9quations d'Euler-Lagrange. Le nombre peut donc aussi \u00EAtre \u00E9cart\u00E9.\n\n:\u2666 remarque : pour une particule ponctuelle, l'ajout au lagrangien de la d\u00E9riv\u00E9e d'une fonction ne change pas les \u00E9quations car cela ajoute \u00E0 l'action la variation qui est constante lorsqu'on fait varier l'action ; de m\u00EAme pour une densit\u00E9 lagrangienne, l'ajout de la 4-divergence d'un 4-vecteur ne fait qu'ajouter \u00E0 l'action le flux du 4-vecteur \u00E0 travers l'hypersurface limitant le domaine d'int\u00E9gration, or cette quantit\u00E9 reste constante lorsqu'on fait varier l'action .\n\n\n\n* De ce fait, est l'unique candidat \u00E0 \u00EAtre la densit\u00E9 lagrangienne.\n\n: En choisissant un coefficient multiplicateur qui d\u00E9termine les unit\u00E9s de mesure du champ \u00E9lectromagn\u00E9tique, on prend : \n\n:\u2666 remarque : le signe correspond au choix li\u00E9 \u00E0 la minimisation de l'action, ainsi qu'aux choix des signes des autres termes de l'action ."@fr . . . "* On obtient :\n:: \n:: ;\n\n:: .\n\n* Par ailleurs : donc ."@fr . "164042178"^^ . "En relativit\u00E9 restreinte, le principe de moindre action pour un point mat\u00E9riel donne des \u00E9quations d'Euler-Lagrange tr\u00E8s semblables \u00E0 celles de la m\u00E9canique classique, mais le lagrangien n'est plus \u00E9gal \u00E0 la diff\u00E9rence entre l'\u00E9nergie cin\u00E9tique et l'\u00E9nergie potentielle. En fait, le principe de moindre action se base dans ce cas seulement sur l'existence d'une trajectoire continue, param\u00E9tr\u00E9e par le temps, qui minimise une fonction ou la diff\u00E9rence entre des fonctions du syst\u00E8me \u00E9tudi\u00E9 (on peut g\u00E9n\u00E9raliser \u00E0 un syst\u00E8me de points), d\u00E9termin\u00E9es \u00E0 partir de principes g\u00E9n\u00E9raux, tels que par exemple : \n* Comme la trajectoire dans l'espace-temps ne d\u00E9pend pas du r\u00E9f\u00E9rentiel par rapport auquel on l'observe, l'action qui la d\u00E9termine, ainsi que les fonctions qui composent l'action, sont invariantes par changement de r\u00E9f\u00E9rentiel. \n* L'ind\u00E9pendance de plusieurs corps implique l'additivit\u00E9 de leurs actions et de leurs lagrangiens, pour que les trajectoires puissent \u00EAtre d\u00E9termin\u00E9es s\u00E9par\u00E9ment en appliquant la m\u00E9thode variationnelle. Il se trouve qu'en physique classique, ces fonctions du syst\u00E8me sont les \u00E9nergies cin\u00E9tiques et potentielles, ce n'est plus le cas en relativit\u00E9. En physique relativiste, et en l'absence de champ \u00E9lectromagn\u00E9tique, on montre que la fonction du corps qui est minimis\u00E9e dans le principe est particuli\u00E8rement simple : il s'agit de o\u00F9 est \u00AB temps propre \u00BB du trajet (temps s'\u00E9coulant dans le r\u00E9f\u00E9rentiel du corps au cours du trajet).Minimiser l'action revient \u00E0 maximiser le \u00AB temps propre \u00BB, du fait du signe , que la masse est positive et constante, et de la constance de la vitesse de la lumi\u00E8re .Cela est aussi li\u00E9 \u00E0 la \u00AB longueur g\u00E9n\u00E9ralis\u00E9e \u00BB de la trajectoire, mesur\u00E9e par la m\u00E9trique de l'espace-temps de Minkowski[pas clair]. Un champ \u00E9lectromagn\u00E9tique am\u00E8ne des diff\u00E9rences de parcours entre les corps, suivant leurs charges et leurs r\u00E9partitions. Et comme en physique classique, toutes les \u00E9quations peuvent \u00EAtre obtenues sans le principe de moindre action."@fr . . "* Pour d\u00E9crire les mouvements des particules charg\u00E9es, l'interaction entre une particule et le champ se mod\u00E9lise dans l'action par : .\n\n: L'utilisation d'une densit\u00E9 lagrangienne n\u00E9cessite par contre ici de raisonner avec une densit\u00E9 de charge : avec .\n\n: Le terme d'interaction de l'action peut donc s'\u00E9crire :\n:: .\n\n:\u2666 remarque : les int\u00E9grations sur et ne peuvent pas \u00EAtre simplement s\u00E9par\u00E9es car et doivent \u00EAtre calcul\u00E9s au m\u00EAme point que ; si on int\u00E8gre d'abord sur on peut utiliser o\u00F9 correspond \u00E0 la position \u00E0 l'instant consid\u00E9r\u00E9 ; on peut obtenir une \u00E9criture plus sym\u00E9trique sur avec o\u00F9 .\n\n* On peut alors d\u00E9finir un quadrivecteur densit\u00E9 de courant : .\n\n: Ainsi le terme d'interaction peut s'\u00E9crire : .\n\n:\u2666 remarque : il est important de noter que, par rapport \u00E0 la transformation de Lorentz, la densit\u00E9 de charge n'est pas un scalaire ; par ailleurs, le 4-objet n'est pas un 4-vecteur \u00E0 cause de la dilatation des dur\u00E9es ; il se trouve que les deux effets se compensent et que le produit des deux est un quadrivecteur.\n\n* On obtient ainsi au total : ."@fr . . "* Les \u00E9quations du mouvement peuvent s'\u00E9crire : .\n\n: Par ailleurs : ; or ne d\u00E9pend pas explicitement donc : .\n\n: Ainsi : ."@fr . "D\u00E9monstration"@fr . "* L'effet de la m\u00E9trique peut aussi apparaitre en relativit\u00E9 restreinte avec des coordonn\u00E9es non cart\u00E9siennes. Ainsi une transformation de Lorentz associ\u00E9e \u00E0 un mouvement d'axe peut par exemple s'exprimer avec des coordonn\u00E9es cylindriques . On utilise dans ce cas et la m\u00E9trique est remplac\u00E9e par avec . La composante angulaire donne et l'impulsion conjugu\u00E9e est un moment cin\u00E9tique .\n\n: Ceci montre qu'\u00E0 partir d'un certain niveau de g\u00E9n\u00E9ralisation, les expressions des \"impulsions\" g\u00E9n\u00E9ralis\u00E9es ne correspondent pas forc\u00E9ment \u00E0 ce qui pourrait \u00EAtre simplement attendu. Les signes contre-intuitifs constat\u00E9s ici n'ont donc rien de r\u00E9dhibitoire.\n\n: \u2666 remarque : la relativit\u00E9 g\u00E9n\u00E9rale utilise d'ailleurs la m\u00E9trique pour d\u00E9crire la gravitation. Il est donc judicieux de commencer par pr\u00E9ciser l'\u00E9criture quadrivectorielle correspondante en relativit\u00E9 restreinte avant de g\u00E9n\u00E9raliser davantage.\n\n: \u2666 remarque : pour diminuer l'impact des ambigu\u00EFt\u00E9s de signe li\u00E9es \u00E0 la m\u00E9trique, une autre m\u00E9thode peut consister \u00E0 utiliser une premi\u00E8re coordonn\u00E9e imaginaire au lieu des notations co/contra-variantes et de m\u00EAme pour tous les quadrivecteurs, mais ceci ne s'adapte pas \u00E0 la relativit\u00E9 g\u00E9n\u00E9rale ."@fr . . . "\u00C9bauche d'une d\u00E9monstration de l'expression de la densit\u00E9 lagrangienne du champ \u00E9lectromagn\u00E9tique"@fr . "Commentaires plus d\u00E9taill\u00E9s"@fr . . "* Avec le lagrangien relativiste : , les \u00E9quations d'Euler-Lagrange : donnent :\n::\n\n* Sachant que ne d\u00E9pend pas explicitement du param\u00E8tre , on peut \u00E9crire :\n::.\n\n* En posant tenseur champ \u00E9lectromagn\u00E9tique, on obtient ainsi l'\u00E9quation du mouvement :\n::.\n\n* On retrouve la quadri-\u00E9criture plus usuelle en \u00E9levant l'indice avec ."@fr . . "* On consid\u00E8re ici la variation de l'action correspondant \u00E0 des variations du potentiel , suppos\u00E9es nulles aux limites du quadri-volume d'int\u00E9gration .\n\n: Cette variation de l'action peut s'\u00E9crire : .\n\n* Le second terme peut s'exprimer : .\n\n: Or le quadrivecteur : a un flux nul \u00E0 travers l'hypersurface \u00AB bordant \u00BB le quadri-volume d'int\u00E9gration , puisque s'y annule.\n\n: D'apr\u00E8s le th\u00E9or\u00E8me d'Ostrogradski, l'int\u00E9grale de sa divergence est nulle : .\n\n: Ainsi en simplifiant : .\n\n* La variation de l'action est donc nulle, quelles que soient les variations au voisinage de l'extremum, si et seulement si est v\u00E9rifi\u00E9e la condition : ."@fr . . . . . . "Am\u00E9lioration \"opportuniste\" du hamiltonien"@fr . . . "Pr\u00E9cisions sur les \u00E9quations"@fr . "Utilisation d'un autre param\u00E8tre"@fr . "Autre raisonnement"@fr . . . . . . "* On peut se demander si la d\u00E9marche utilis\u00E9e ici peut \u00EAtre applicable au lagrangien avec radical, quitte \u00E0 utiliser un autre param\u00E8tre .\n\n* On consid\u00E8re alors l'action : avec .\n\n: La limite peut \u00EAtre obtenue en substituant : .\n\n: Finalement, ceci correspond forc\u00E9ment \u00E0 un lagrangien quadratique : .\n\n: Dans la mesure ou ce lagrangien quadratique donne les bonnes \u00E9quations du mouvement, mais des impulsions incorrectes d'un facteur 2, on le multiplie par un coefficient ."@fr . . .