. . "0"^^ . "Carter"@fr . . . . . . . "D\u00E9termination de la table"@fr . . "PSL(2,7)"@nl . . "London New York"@fr . "169445852"^^ . "20326"^^ . . "Pour la repr\u00E9sentation de degr\u00E9 7, les six coefficients restant \u00E0 d\u00E9terminer se calculent avec les produits scalaires entre le caract\u00E8re \u00E0 d\u00E9terminer et les pr\u00E9c\u00E9dents. Il n'existe qu'une seule solution de norme 1. Enfin, la connaissance du caract\u00E8re de la repr\u00E9sentation r\u00E9guli\u00E8re et des 5 premiers caract\u00E8res permet le calcul de \u03C78."@fr . . "Dover"@fr . . "Il existe une unique repr\u00E9sentation de degr\u00E9 1 et aucune de dimension 2. De plus, les six degr\u00E9s sont des diviseurs de 168 et la somme de leurs carr\u00E9s vaut 168. Or l'unique d\u00E9composition de 168 en somme de 6 carr\u00E9s dont le premier est 1 et les suivants sont des carr\u00E9s d'entiers appartenant \u00E0 {3,4,6,7,8,12} est :Les degr\u00E9s des repr\u00E9sentations irr\u00E9ductibles sont donc 1, 3, 3, 6, 7 et 8. Ceci permet de remplir la premi\u00E8re ligne et la premi\u00E8re colonne du tableau.\n* Repr\u00E9sentations de degr\u00E9 3 :"@fr . . . . . . "En math\u00E9matiques, et plus pr\u00E9cis\u00E9ment en th\u00E9orie des groupes, un groupe simple est un groupe qui n'admet aucun sous-groupe distingu\u00E9 propre. La classification des groupes simples finis montre qu'il est possible de les ranger en quatre cat\u00E9gories : les groupes cycliques d'ordre un nombre premier, les groupes altern\u00E9s, les groupes de type Lie et les groupes sporadiques. Le plus petit groupe simple de type Lie est d'ordre 168 ; il est le premier \u00E9l\u00E9ment de sa cat\u00E9gorie. C'est, \u00E0 isomorphisme pr\u00E8s, le seul groupe simple d'ordre 168. Il peut \u00EAtre vu comme le groupe lin\u00E9aire d'un espace vectoriel de dimension 3 sur le corps F2, et on en d\u00E9duit que c'est \u00E9galement le groupe des sym\u00E9tries du plan de Fano. C'est encore le groupe projectif sp\u00E9cial lin\u00E9aire d'un espace de dimension 2 sur le corps F7. Il peut aussi \u00EAtre vu comme le groupe de Galois sur \u211A du polyn\u00F4me X7 \u2013 7X + 3, ou le groupe des automorphismes de la quartique de Klein, qui est la courbe du plan projectif complexe d\u00E9finie par le polyn\u00F4me P suivant : Ce groupe intervient par exemple dans des d\u00E9monstrations du dernier th\u00E9or\u00E8me de Fermat pour l'exposant n \u00E9gal \u00E0 7."@fr . . . "299"^^ . . "Remarquons, dans un premier temps qu'il n'existe pas de morphisme surjectif du groupe dans un groupe cyclique de plus d'un \u00E9l\u00E9ment. En effet, pour que le morphisme soit surjectif, le groupe d'arriv\u00E9e poss\u00E8de n\u00E9cessairement un ordre qui divise 168. Si un tel morphisme existait, il existerait n\u00E9cessairement un morphisme surjectif dans un groupe cyclique d'ordre 2, 3 ou 7. Un morphisme \u00E0 valeur dans un groupe cyclique d'ordre 2 est nul sur les classes C3, C7a et C7b, c'est-\u00E0-dire sur plus de la moiti\u00E9 des \u00E9l\u00E9ments du groupe G, un tel morphisme a n\u00E9cessairement pour image l'\u00E9l\u00E9ment neutre. Un morphisme dans un groupe cyclique d'ordre 3 est n\u00E9cessairement nul sur les classes C4, C7a et C7b, il est donc nul. Le m\u00EAme raisonnement montre qu'il est aussi nul s'il est \u00E0 valeur dans un groupe d'ordre 7. Comme tout caract\u00E8re de degr\u00E9 1 est aussi un morphisme d'image un groupe cyclique, le seul caract\u00E8re de degr\u00E9 1 est le caract\u00E8re trivial.\n* Repr\u00E9sentation de degr\u00E9 2 :"@fr . . "1987"^^ . . . . ":en:Roger Carter"@fr . "1989"^^ . . . . . . . . "Roger"@fr . "Le raisonnement pr\u00E9c\u00E9dent montre que la trace d'un automorphisme image d'un \u00E9l\u00E9ment de C7a est l'une des trois valeurs : -1, -1 + i ou -1 - i, si le degr\u00E9 de la repr\u00E9sentation irr\u00E9ductible est \u00E9gale \u00E0 6. Les deux derni\u00E8res valeurs sont impossibles car la norme du caract\u00E8re serait strictement sup\u00E9rieure \u00E0 1. Le calcul des produits scalaires de \u03C76 avec \u03C71, \u03C73a et \u03C76 permet de conclure."@fr . . . . "Group theory"@fr . "D\u00E9terminons les caract\u00E8res des repr\u00E9sentations irr\u00E9ductibles de degr\u00E9 3. Le m\u00EAme raisonnement que pr\u00E9c\u00E9demment montre que si \u03C6 est un automorphisme image d'un \u00E9l\u00E9ment de C7a, il poss\u00E8de comme valeurs propres trois racines primitives septi\u00E8me de l'unit\u00E9 \u03BB, \u03BBa et \u03BBb, o\u00F9 a et b sont deux entiers compris entre 1 et 6 tel que a est plus petit que b. Comme la trace de \u03C6 est \u00E9gale \u00E0 celle de \u03C62 la valeur \u03BB + \u03BBa + \u03BBb est \u00E9gale \u00E0 la valeur \u03BB2 + \u03BB2a + \u03BB2b, donc a est \u00E9gal \u00E0 2 et b \u00E0 4. On remarque que la somme de \u03BB + \u03BB2 + \u03BB4 et de \u03BB3 + \u03BB5 + \u03BB6 est \u00E9gale \u00E0 -1 et le produit \u00E0 2. On en d\u00E9duit que le caract\u00E8re sur la classe C7a est \u00E9gal \u00E0 1/2.. Le produit scalaire de \u03C71 et de \u03C73a est \u00E9gal \u00E0 0. De plus, l'expression i ne se retrouve dans le caract\u00E8re d'aucune classe autre que C7a et C7b, et on en d\u00E9duit que si le caract\u00E8re est \u00E9gal \u00E0 1/2. sur C7a, il vaut n\u00E9cessairement 1/2.C7b et vice-versa."@fr . "3289509"^^ . . . . . . "William R."@fr . "Simple groups of lie type"@fr . "Scott"@fr . . . "Groupe simple d'ordre 168"@fr . . . . . "* Repr\u00E9sentation de degr\u00E9 1 :"@fr . "PSL(2,7)"@zh . . . "en"@fr . . . "Un raisonnement analogue montre que les valeurs propres d'un automorphisme image d'un \u00E9l\u00E9ment de C3 poss\u00E8de trois valeurs propres distinctes et toutes trois racines troisi\u00E8mes de l'unit\u00E9, ce qui montre que le caract\u00E8re est nul sur cette classe, car la somme des trois racines est nulle."@fr . "D\u00E9monstration directe"@fr . . "Il n'existe pas de repr\u00E9sentation irr\u00E9ductible de degr\u00E9 2. Pour cela, il suffit de consid\u00E9rer la trace de l'image \u03C6 d'un \u00E9l\u00E9ment de C7a. L'automorphisme \u03C6 est diagonalisable car son polyn\u00F4me minimal est un diviseur de X7 \u2013 1 donc ne poss\u00E8de pas de racine multiple. On en d\u00E9duit que \u03C6 admet deux valeurs propres \u03BB\u03B6 et \u03BC\u03B6, o\u00F9 \u03B6 est une racine primitive de l'unit\u00E9 et a, b sont deux entiers compris entre 0 et 6. On remarque que \u03C62 est aussi dans C7a, ce qui montre que \u03BB + \u03BC est \u00E9gal \u00E0 \u03BB2 + \u03BC2. En notant r et s les restes de la division euclidienne de 2a et 2b par 7, on en d\u00E9duit que le polyn\u00F4me X + X \u2013 X \u2013 X est divisible par le polyn\u00F4me cyclotomique d'indice 7, ce qui n'est possible que s'il est nul, c'est-\u00E0-dire r = a et s = b ou r = b et s = a. Dans les deux cas, on en d\u00E9duit que a et b sont nuls modulo 7, i.e. \u03BB et \u03BC sont tous les deux \u00E9gaux \u00E0 1. La trace de l'image d'un \u00E9l\u00E9ment C7a ou de C7b est n\u00E9cessairement \u00E9gale \u00E0 2. Le calcul de la norme du caract\u00E8re associ\u00E9 \u00E0 cette repr\u00E9sentation donne un r\u00E9sultat strictement sup\u00E9rieur \u00E0 1, ce qui montre que la repr\u00E9sentation n'est pas irr\u00E9ductible.\n* Degr\u00E9s des six repr\u00E9sentations irr\u00E9ductibles :"@fr . "Soit H un sous-groupe distingu\u00E9 non trivial de G. Si H ne contient ni \u00E9l\u00E9ment d'ordre 7, ni \u00E9l\u00E9ment d'ordre 3, son ordre est un diviseur de 168 qui n'est multiple ni de 3 ni de 7, c'est-\u00E0-dire un diviseur de 8. Alors H contient un \u00E9l\u00E9ment d'ordre 2, donc les 21 \u00E9l\u00E9ments conjugu\u00E9s d'ordre 2, ce qui est impossible.\n\nSi H contient un \u00E9l\u00E9ment d'ordre 3, il les contient alors tous car ils sont dans la m\u00EAme classe de conjugaison. En ajoutant l'\u00E9l\u00E9ment neutre, on trouve au moins 57 \u00E9l\u00E9ments dans le groupe. Le seul diviseur strict de 168 plus grand que 57 est 84, ce qui montre que H contient un \u00E9l\u00E9ment d'ordre 2 et un \u00E9l\u00E9ment d'ordre 7, donc la classe des \u00E9l\u00E9ments d'ordre 2 et une classe d'\u00E9l\u00E9ments d'ordre 7 sont dans le groupe H. L'ordre de H est strictement sup\u00E9rieur \u00E0 84, H est donc le groupe G.\n\nSi H contient un \u00E9l\u00E9ment d'ordre 7, H les contient tous : soient ceux-ci lui sont conjugu\u00E9s, soit ils sont les conjugu\u00E9s de son inverse, qui a pour polyn\u00F4me minimal le polyn\u00F4me r\u00E9ciproque. Donc H contient au moins 49 \u00E9l\u00E9ments. Les entiers sup\u00E9rieurs \u00E0 49 divisant 168 sont 168, 84 et 56. Tous ces diviseurs sont des multiples de 2, ce qui montre que H contient la classe des \u00E9l\u00E9ments d'ordre 2, donc poss\u00E8de au moins 49+21 = 70 \u00E9l\u00E9ments. Il ne reste plus que les cardinaux 168 et 84, H contient n\u00E9cessairement un \u00E9l\u00E9ment d'ordre 3, donc les 56 \u00E9l\u00E9ments de la classe de conjugaison, c'est le groupe entier."@fr . . "En math\u00E9matiques, et plus pr\u00E9cis\u00E9ment en th\u00E9orie des groupes, un groupe simple est un groupe qui n'admet aucun sous-groupe distingu\u00E9 propre. La classification des groupes simples finis montre qu'il est possible de les ranger en quatre cat\u00E9gories : les groupes cycliques d'ordre un nombre premier, les groupes altern\u00E9s, les groupes de type Lie et les groupes sporadiques. Ce groupe intervient par exemple dans des d\u00E9monstrations du dernier th\u00E9or\u00E8me de Fermat pour l'exposant n \u00E9gal \u00E0 7."@fr . . . . "John Wiley & Sons"@fr . . . "PSL(2,7)"@en . "Pour les automorphismes image d'un \u00E9l\u00E9ment de C2, les valeurs propres sont, soit 1 soit -1 et la trace est \u00E9gale \u00E0 1 ou 3 en valeur absolue. Comme la norme du caract\u00E8re est \u00E9gale \u00E0 1, 3 en valeur absolue n'est pas une valeur possible. Pour C, un raisonnement analogue montre que la trace est \u00E9gale \u00E0 1 en valeur absolue. L'orthogonalit\u00E9 de \u03C73a avec \u03C71 permet de d\u00E9terminer les signes manquants. Le raisonnement s'applique de la m\u00EAme mani\u00E8re \u00E0 \u03C73b.\n* Autres repr\u00E9sentations :"@fr . . "New York"@fr .