. . . . "En math\u00E9matiques, et plus pr\u00E9cis\u00E9ment en th\u00E9orie des groupes, le centralisateur d'une partie X d'un groupe G est le sous-groupe de G form\u00E9 par les \u00E9l\u00E9ments de G qui commutent avec tout \u00E9l\u00E9ment de X."@fr . . . "Centralisator"@nl . . "94476"^^ . . . . . . . . . "En math\u00E9matiques, et plus pr\u00E9cis\u00E9ment en th\u00E9orie des groupes, le centralisateur d'une partie X d'un groupe G est le sous-groupe de G form\u00E9 par les \u00E9l\u00E9ments de G qui commutent avec tout \u00E9l\u00E9ment de X."@fr . . . . . . . "11409"^^ . . "Centralizer and normalizer"@en . . "Trois d\u00E9monstrations"@fr . . . "Centralizzatore"@it . . . . . "\u0426\u0435\u043D\u0442\u0440\u0430\u043B\u0456\u0437\u0430\u0442\u043E\u0440"@uk . . . "Centralisateur"@fr . . . . "178533267"^^ . . . . . . . . . . . . . . . . "*Premi\u00E8re d\u00E9monstration. Les relations 1 x = x = x 1 montrent que l'\u00E9l\u00E9ment neutre de G appartient \u00E0 CG. Si g et h sont deux \u00E9l\u00E9ments de CG, alors g h x = g x h = x g h, donc g h appartient lui aussi \u00E0 CG. Enfin, si g appartient \u00E0 CG, alors g x = x g ; en multipliant les deux membres de cette relation par g-1 \u00E0 gauche, nous trouvons x = g-1 x g ; en multipliant les deux membres de cette relation par g-1 \u00E0 droite, nous obtenons x g-1 = g-1 x, ce qui montre que g-1 appartient \u00E0 CG.\n\n*Seconde d\u00E9monstration. Pour tout \u00E9l\u00E9ment x de G, d\u00E9signons par IntG l'automorphisme int\u00E9rieur de G. Dire que deux \u00E9l\u00E9ments x et g de G commutent revient \u00E0 dire que g est point fixe de IntG . Donc CG est l'ensemble des points fixes de IntG. De fa\u00E7on g\u00E9n\u00E9rale, l'ensemble des points fixes d'un endomorphisme d'un groupe est un sous-groupe de ce groupe, donc CG est un sous-groupe de G.\n\n*Troisi\u00E8me d\u00E9monstration. D'apr\u00E8s une remarque faite dans la seconde d\u00E9monstration, CG est l'ensemble des \u00E9l\u00E9ments g de G tels que IntG admette x pour point fixe. Autrement dit, CG est l'image r\u00E9ciproque de l'ensemble des permutations de G qui admettent x comme point fixe par l'application . Cette application est un homomorphisme de G dans le groupe SG des permutations de G et l'ensemble des permutations de G qui admettent x comme point fixe est un sous-groupe de SG, donc CG est l'image r\u00E9ciproque d'un groupe par un homomorphisme partant de G, donc c'est un sous-groupe de G."@fr . . . . "Zentralisator"@de . . . . . . .