. . . "En alg\u00E8bre, l'arithm\u00E9tique des polyn\u00F4mes d\u00E9crit, parmi les propri\u00E9t\u00E9s des polyn\u00F4mes, celles qui sont de nature arithm\u00E9tique. Elles sont en partie analogues \u00E0 celles des entiers relatifs. L'anneau commutatif K[X] des polyn\u00F4mes formels \u00E0 une ind\u00E9termin\u00E9e X et \u00E0 coefficients dans un corps commutatif K, par exemple le corps des nombres r\u00E9els ou celui des complexes, dispose d'une division euclidienne. Les propri\u00E9t\u00E9s de la division euclidienne sont \u00E0 l'origine des th\u00E9or\u00E8mes cl\u00E9s de l'arithm\u00E9tique \u00E9l\u00E9mentaire. Il en est de m\u00EAme pour l'arithm\u00E9tique des polyn\u00F4mes. On d\u00E9montre de la m\u00EAme mani\u00E8re l'identit\u00E9 de B\u00E9zout et le lemme d'Euclide. L'existence et l'unicit\u00E9 (\u00E0 l'ordre pr\u00E8s) de la d\u00E9composition en facteurs irr\u00E9ductibles d'un polyn\u00F4me s'av\u00E8re \u00EAtre un \u00E9quivalent du th\u00E9or\u00E8me fondamental de l'arithm\u00E9tique, les polyn\u00F4mes irr\u00E9ductibles et unitaires jouant le r\u00F4le des nombres premiers. Ces r\u00E9sultats ne s'appliquent plus de la m\u00EAme mani\u00E8re si les coefficients sont choisis dans un anneau A comme celui des nombres entiers, o\u00F9 les \u00E9l\u00E9ments ne sont pas toujours inversibles pour la multiplication. L'\u00E9tude de cette configuration demande l'usage d'un attirail d'outils math\u00E9matiques plus puissants. Ils permettent de montrer que si l'identit\u00E9 de B\u00E9zout n'est plus v\u00E9rifi\u00E9e, un \u00E9quivalent du th\u00E9or\u00E8me fondamental de l'arithm\u00E9tique reste encore valable. Cette propri\u00E9t\u00E9 reste vraie si l'anneau comporte plusieurs ind\u00E9termin\u00E9es. Autrement dit, si A est un anneau factoriel, l'anneau des polyn\u00F4mes \u00E0 coefficients dans A est aussi factoriel, quel que soit le nombre d'ind\u00E9termin\u00E9es. Dans certains cas, l'anneau A n'est pas factoriel ; mais s'il est noeth\u00E9rien, tout anneau de polyn\u00F4mes \u00E0 un nombre fini d'ind\u00E9termin\u00E9es sur A est aussi noeth\u00E9rien. Ces diff\u00E9rents r\u00E9sultats sont \u00E0 l'origine de th\u00E9or\u00E8mes fondateurs de diverses branches de l'alg\u00E8bre. La th\u00E9orie de Galois s'appuie sur la structure euclidienne de K[X] ; la th\u00E9orie alg\u00E9brique des nombres fait usage du caract\u00E8re factoriel ou noeth\u00E9rien des anneaux de polyn\u00F4mes \u00E0 une ou plusieurs ind\u00E9termin\u00E9es sur divers anneaux. Enfin, des th\u00E9or\u00E8mes comme celui de la base de Hilbert ou le Nullstellensatz, essentiels en g\u00E9om\u00E9trie alg\u00E9brique, sont des cons\u00E9quences directes de l'arithm\u00E9tique des polyn\u00F4mes."@fr . . . . . . . . . . "les-mathematiques.net"@fr . . . . . . . . . . . "190984300"^^ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "oui"@fr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "23240"^^ . . . . . . . "Arithm\u00E9tique des polyn\u00F4mes"@fr . . . . . "https://archive.wikiwix.com/cache/index2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.les-mathematiques.net%2Fb%2Fc%2Fe%2Fnode1.php3#&|titre=Polyn\u00F4mes \u00E0 une ind\u00E9termin\u00E9e"@fr . . . . . . "3531327"^^ . . "En alg\u00E8bre, l'arithm\u00E9tique des polyn\u00F4mes d\u00E9crit, parmi les propri\u00E9t\u00E9s des polyn\u00F4mes, celles qui sont de nature arithm\u00E9tique. Elles sont en partie analogues \u00E0 celles des entiers relatifs. L'anneau commutatif K[X] des polyn\u00F4mes formels \u00E0 une ind\u00E9termin\u00E9e X et \u00E0 coefficients dans un corps commutatif K, par exemple le corps des nombres r\u00E9els ou celui des complexes, dispose d'une division euclidienne. Les propri\u00E9t\u00E9s de la division euclidienne sont \u00E0 l'origine des th\u00E9or\u00E8mes cl\u00E9s de l'arithm\u00E9tique \u00E9l\u00E9mentaire. Il en est de m\u00EAme pour l'arithm\u00E9tique des polyn\u00F4mes. On d\u00E9montre de la m\u00EAme mani\u00E8re l'identit\u00E9 de B\u00E9zout et le lemme d'Euclide. L'existence et l'unicit\u00E9 (\u00E0 l'ordre pr\u00E8s) de la d\u00E9composition en facteurs irr\u00E9ductibles d'un polyn\u00F4me s'av\u00E8re \u00EAtre un \u00E9quivalent du th\u00E9or\u00E8me fondamental de l'arith"@fr . . . . "C. Antonini"@fr .