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Statements

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dbpedia-fr:Théorème_fondamental_de_l'algèbre
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Fundamental theorem of algebra Aljebraren oinarrizko teorema Fundamentalsatz der Algebra Théorème fondamental de l'algèbre Hoofdstelling van de algebra Teorema fondamentale dell'algebra Основна теорема алгебри 代数学の基本定理 Teorema fundamental del álgebra Teorema fonamental de l'àlgebra
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En mathématiques, le théorème fondamental de l'algèbre, aussi appelé théorème de d'Alembert-Gauss et théorème de d'Alembert, indique que tout polynôme non constant, à coefficients complexes, admet au moins une racine. En conséquence, tout polynôme à coefficients entiers, rationnels ou encore réels admet au moins une racine complexe, car ces nombres sont aussi des complexes. Une fois ce résultat établi, il devient simple de montrer que sur ℂ, le corps des nombres complexes, tout polynôme P est scindé, c'est-à-dire constant ou produit de polynômes de degré 1.
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dbpedia-fr:Roger_Godement Harel Cain A. Frabetti John H. Mathews et Russell Howell
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est à coefficients réels. On obtient donc en regroupant les termes pour chaque racine complexe. ⇒ : D'après , si P est irréductible, il ne peut être que de degré 1 ou 2. S'il est de degré 1, il est en effet irréductible. S'il est de degré 2, il est irréductible si, et seulement si son discriminant est strictement négatif. ⇒ : Un polynôme P non constant à coefficients réels admet au moins un diviseur R irréductible sur ℝ. Un tel R est, d'après , de degré 1 ou 2, et admet donc une racine complexe, qui est alors aussi racine de P. ⇒ : Soit P un polynôme à coefficients complexes, et P* le polynôme obtenu en remplaçant chaque coefficient de P par son conjugué. Alors P'P* = R est à coefficients réels. D'après , R admet une racine complexe α, donc P'P* = 0. Donc, si α n'est pas une racine de P, alors P* = 0, ce qui donne P = = = 0. Donc, α ou son conjugué est une racine de P, ce qui prouve . ⇒ : Démontrons par récurrence sur n, le degré d'un polynôme, à partir de . Si n est égal à 0, il n'y a rien à démontrer. Supposons le résultat établi pour tout polynôme de degré n et soit P un polynôme de degré n + 1. implique l'existence d'une racine α de P. Le polynôme s'écrit alors P = Q avec Q de degré n donc scindé par hypothèse de récurrence, si bien que P est également scindé, donc est démontré. ⇒ : D'après , tout polynôme P à coefficients réels est scindé sur ℂ. Si α est une racine complexe de P, son conjugué l'est aussi, avec même ordre de multiplicité, et
prop-fr:date
2009-04-30
prop-fr:fr
Cours d'Analyse méthode de Durand-Kerner
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978
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Reinhold Remmert
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Remmert Gilain
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Reinhold Christian
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dbpedia-fr:Université_Claude-Bernard-Lyon-I
prop-fr:titre
Analyse mathématique C. F. Gauss's proofs of the fundamental theorem of algebra Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre : théorie des équations et calcul intégral Démonstration des équivalences Le théorème fondamental de l'algèbre Complex Analysis Project for Undergraduate Students — The Fundamental Theorem of Algebra: Internet Resources and Bibliography
prop-fr:titreOuvrage
Les nombres, leur histoire, leur place et leur rôle de l'Antiquité aux recherches actuelles
prop-fr:trad
Durand–Kerner method
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I
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dbpedia-fr:Archive_for_History_of_Exact_Sciences
prop-fr:vol
4
prop-fr:auteursOuvrage
, , F. Hirzebruch, , , , J. Neukirch, A. Prestel et R. Remmert
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wikipedia-fr:Théorème_fondamental_de_l'algèbre
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En mathématiques, le théorème fondamental de l'algèbre, aussi appelé théorème de d'Alembert-Gauss et théorème de d'Alembert, indique que tout polynôme non constant, à coefficients complexes, admet au moins une racine. En conséquence, tout polynôme à coefficients entiers, rationnels ou encore réels admet au moins une racine complexe, car ces nombres sont aussi des complexes. Une fois ce résultat établi, il devient simple de montrer que sur ℂ, le corps des nombres complexes, tout polynôme P est scindé, c'est-à-dire constant ou produit de polynômes de degré 1. Le temps a rendu l'expression de théorème fondamental de l'algèbre un peu paradoxale. Il n'existe en effet aucune démonstration purement algébrique de ce théorème. Il est nécessaire de faire usage de résultats topologiques ou analytiques pour sa démonstration. L'expression provient d'une époque où l'algèbre s'identifiait essentiellement avec la théorie des équations, c'est-à-dire la résolution des équations polynomiales. Les frontières de l'algèbre ont maintenant changé mais le nom du théorème est resté. Les conséquences du théorème sont nombreuses ; en algèbre linéaire ce résultat est essentiel pour la réduction d'endomorphisme ; en analyse, il intervient dans la décomposition en éléments simples des fonctions rationnelles utilisée pour trouver une primitive. On les retrouve aussi en théorie algébrique des nombres, dans un résultat basique indiquant que toute extension algébrique du corps des rationnels peut être considérée comme un sous-corps de celui des complexes. L'histoire du théorème indique l'importance du résultat aux yeux des mathématiciens du XVIIIe siècle. Les plus grands noms, comme ceux de d'Alembert, Euler, Lagrange ou Gauss se sont attelés à sa démonstration, avec des fortunes diverses. La variété et la richesse des méthodes conçues dans ce but fut un moteur puissant pour l'évolution de la recherche en mathématiques et particulièrement pour une meilleure compréhension des nombres complexes.