| Attributes | Values |
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| rdfs:label
| - Contravariant en covariant (nl)
- Covariância e contravariância (pt)
- Vecteur contravariant, covariant et covecteur (fr)
- Коваріантність і контраваріантність (математика) (uk)
- ベクトルの共変性と反変性 (ja)
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| rdfs:comment
| - Un vecteur contravariant est un vecteur, un vecteur covariant est une forme linéaire, encore appelé covecteur, ou encore vecteur dual. Et si on dispose d'un produit scalaire, on peut représenter une forme linéaire (= un vecteur covariant = un covecteur) par un vecteur à l'aide du théorème de représentation de Riesz (cette représentation dépend du choix du produit scalaire). (fr)
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| prop-fr:contenu
| - Réponse condensée.
On donne ici une démarche générique permettant de trouver l'expression du gradient dans tout système de coordonnées.
1- Soit
le système de coordonnées polaires .
Soit la base canonique de .
La base du système polaire en un point géométrique est par définition
où
la matrice colonne représentant les composantes de dans la base canonique de l'espace géométrique, et
2- La base duale du système en est la base
.
3- Soit une fonction définie sur l'espace géométrique : elle est de type .
De manière générique, étant donné une base
de base duale associée , sa différentielle s'exprime donc comme :
où, par définition des notations :
est la dérivée suivant le premier vecteur de base du système polaire, et de même
est la dérivée suivant le deuxième vecteur de base du système polaire.
N.B. : c'est bien une définition de notations car est une fonction qui dépend de et non de . Plus précisément
où est la fonction définie par
quand , c'est-à-dire de
.
Par dérivation de fonctions composées,
on obtient , ou dans la notation habituelle de la linéarité
, et donc
,
et de même
.
Et comme est l'expression
de la différentielle dans la base
duale de la base canonique de l'espace paramétrique ,
on écrit à l'aide des définitions ci-dessus.
Cela a le sens :
,
la base étant en
la base duale de la base du système de coordonnées en .
4- Par définition du gradient, le produit scalaire étant ici le produit scalaire canonique, on a
pour tout vecteur .
Notant les composantes de dans la base du système polaire, c'est-à-dire
, puis prenant successivement
puis , on obtient
puis
, soit donc
et
puisque
.
Et donc
.
5- La base du système de coordonnées polaires n'est pas la base polaire choisie par les mécaniciens : ils lui préfèrent
la base orthonormée
où
et
.
D'où
,
expression usuelle du gradient en "coordonnées polaires", ou bien, si on préfère ,
,
où on a posé quand .
6- Exemple : quand
. Ici
et donc
, au point , dans la base polaire des mécaniciens. (fr)
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| prop-fr:titre
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| foaf:isPrimaryTopicOf
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| has abstract
| - Un vecteur contravariant est un vecteur, un vecteur covariant est une forme linéaire, encore appelé covecteur, ou encore vecteur dual. Et si on dispose d'un produit scalaire, on peut représenter une forme linéaire (= un vecteur covariant = un covecteur) par un vecteur à l'aide du théorème de représentation de Riesz (cette représentation dépend du choix du produit scalaire). Toutes ces notions sont indépendantes de représentation dans une base : mais à partir du moment où on choisit une base , la représentation des composantes des vecteurs, et des composantes des formes linéaire, est standard : elle se fait avec un indice en haut pour les composantes des vecteurs, comme , et un indice bas pour les composantes des formes linéaires, comme où est la base duale. Ce vocabulaire a été longtemps (et est encore souvent) associé au comportement des composantes lors d'un changement de base, en particulier les composantes d'un vecteur se transformant de manière inverse aux transformations des vecteurs de base : quand la transformation pour les vecteurs de base se lit matriciellement , alors la transformation pour les composantes se lit matriciellement , d'où le nom "contravariant" donné aux vecteurs (transformation "dans le sens inverse de "). Et les composantes des formes linéaires se transforment comme (transformation "dans le sens "). L'importance de la distinction entre vecteur covariant et contravariant se voit également dans l'étude de changement de base des tenseurs. Par exemple un tenseur 1 fois covariant et 1 fois contravariant (comme en endomorphisme) se transforme comme , alors qu'un tenseur deux fois covariant (comme un produit scalaire) se transforme comme . Dans le cadre usuel d'un changement de systèmes de coordonnées (non orthonormé), comme un changement du système cartésien au système polaire, on ne peut confondre ces formules. On confond souvent tenseur et calcul tensoriel ou matriciel (le calcul avec les formes multilinéaires), calculs indispensables entre autres en physique. Cependant, le calcul matriciel se concentre sur les calculs après représentation dans une base (où on retrouve la représentation en indices et en exposants), alors que les tenseurs, ou les champs de tenseurs (ici les champs de vecteurs et de formes linéaires), permettent une représentation par objets qui ont une existence indépendamment d'un "utilisateur" (indépendamment du choix d'une base ou du choix d'un produit scalaire). Ces tenseurs permettent, lorsqu'on fait un calcul tensoriel, d'être assuré que ce calcul est intrinsèque (résultat numérique indépendant de l'utilisateur). C'est un des apports essentiels de la géométrie différentielle à la physique. (fr)
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