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| - Markov–Kakutani fixed-point theorem (en)
- Théorème du point fixe de Markov-Kakutani (fr)
- マルコフ＝角谷の不動点定理 (ja)
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| - En mathématiques, le théorème du point fixe de Markov-Kakutani s'énonce comme suit : Soient K un compact convexe non vide d'un espace vectoriel topologique séparé X et G un ensemble d'opérateurs affines continus sur X, qui commutent deux à deux et laissent K stable. Alors il existe dans K au moins un point fixe par tous les éléments de G. Il a été démontré par Markov dans le cas où l'espace vectoriel est localement convexe et par Kakutani dans le cas général. (fr)
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| - * Montrons d'abord, pour fixé dans G, que l'ensemble de ses points fixes dans est non vide. Notons C le compact convexe . Soit un élément de . Pout tout entier , l'élémentappartient à C, or la suite des converge vers 0, puisque est borné et queComme C est fermé, on en déduit qu'il contient 0, c'est-à-dire qu'il existe bien dans un point fixe par .
* Du théorème quand G est un singleton on déduit facilement le théorème quand G est fini .
* On en déduit le cas général grâce à la caractérisation en termes de fermés de la compacité de K. (fr)
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| - En mathématiques, le théorème du point fixe de Markov-Kakutani s'énonce comme suit : Soient K un compact convexe non vide d'un espace vectoriel topologique séparé X et G un ensemble d'opérateurs affines continus sur X, qui commutent deux à deux et laissent K stable. Alors il existe dans K au moins un point fixe par tous les éléments de G. Il a été démontré par Markov dans le cas où l'espace vectoriel est localement convexe et par Kakutani dans le cas général. Démonstration
* Montrons d'abord, pour fixé dans G, que l'ensemble (compact convexe) de ses points fixes dans est non vide. Notons C le compact convexe . Soit un élément de . Pout tout entier , l'élémentappartient à C, or la suite des converge vers 0, puisque est borné et queComme C est fermé, on en déduit qu'il contient 0, c'est-à-dire qu'il existe bien dans un point fixe par .
* Du théorème quand G est un singleton (point précédent) on déduit facilement le théorème quand G est fini (par récurrence sur son cardinal).
* On en déduit le cas général grâce à la caractérisation en termes de fermés de la compacité de K. (fr)
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