About: Hilbert's basis theorem

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rdfs:label	Basisstelling van Hilbert (nl) Hilbert's basis theorem (en) Hilbertscher Basissatz (de) Teorema de la base de Hilbert (es) Teorema della base di Hilbert (it) Théorème de la base de Hilbert (fr) Теорема Гільберта про базис (uk)
rdfs:comment	En théorie des anneaux, le théorème de la base de Hilbert affirme que si A est un anneau noethérien, alors l'anneau des polynômes en un nombre fini d'indéterminées A [X1, … , Xn] l'est aussi. Démonstration Soit J un idéal quelconque de A[X] ; l'objectif est de montrer que J est de type fini, ce qui prouvera que A[X] est noethérien. Soit (Dn) la suite d'idéaux de A définie par : Cette suite (Dn) est croissante (car ) donc constante à partir d'un rang r (car A est noethérien). La réunion de tous les Dn est donc égale à Dr. (fr)
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has abstract	En théorie des anneaux, le théorème de la base de Hilbert affirme que si A est un anneau noethérien, alors l'anneau des polynômes en un nombre fini d'indéterminées A [X1, … , Xn] l'est aussi. Démonstration Soit J un idéal quelconque de A[X] ; l'objectif est de montrer que J est de type fini, ce qui prouvera que A[X] est noethérien. Soit (Dn) la suite d'idéaux de A définie par : Cette suite (Dn) est croissante (car ) donc constante à partir d'un rang r (car A est noethérien). La réunion de tous les Dn est donc égale à Dr. Pour chaque entier n, l'idéal Dn est de type fini (car A est noethérien) donc possède une famille génératrice finie (an,i) (le second indice, i, parcourt un ensemble fini In). Pour chacun de ces an,i, soit Pn,i un polynôme de J de degré n et de coefficient dominant égal à an,i. Montrons que la famille finie (Pn,i), doublement indexée par n inférieur ou égal à r et par i dans In, engendre J. Cette assertion signifie que tout polynôme Q de J s'exprime comme combinaison linéaire à coefficients dans A[X] de cette famille (Pn,i). Si Q est nul, c'est immédiat. Sinon, on se ramène à ce cas par récurrence sur le degré d de Q : supposons que la famille engendre tous les polynômes de J de degré strictement inférieur à l'entier naturel d (pour d=0 c'est acquis, le seul polynôme de degré < 0 étant le polynôme nul).Soient q le coefficient dominant de Q et s=min(r,d). Alors q appartient à Dd=Ds. Il existe en conséquence une famille (μi) d'éléments de A telle que L'hypothèse de récurrence montre que Q est engendré par la famille (Pn,i), ce qui termine la démonstration. (fr)
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