| prop-fr:contenu
| - * Avec le lagrangien relativiste : , les équations d'Euler-Lagrange : donnent :
::
* Sachant que ne dépend pas explicitement du paramètre , on peut écrire :
::.
* En posant tenseur champ électromagnétique, on obtient ainsi l'équation du mouvement :
::.
* On retrouve la quadri-écriture plus usuelle en élevant l'indice avec . (fr)
- * L'effet de la métrique peut aussi apparaitre en relativité restreinte avec des coordonnées non cartésiennes. Ainsi une transformation de Lorentz associée à un mouvement d'axe peut par exemple s'exprimer avec des coordonnées cylindriques . On utilise dans ce cas et la métrique est remplacée par avec . La composante angulaire donne et l'impulsion conjuguée est un moment cinétique .
: Ceci montre qu'à partir d'un certain niveau de généralisation, les expressions des "impulsions" généralisées ne correspondent pas forcément à ce qui pourrait être simplement attendu. Les signes contre-intuitifs constatés ici n'ont donc rien de rédhibitoire.
: ♦ remarque : la relativité générale utilise d'ailleurs la métrique pour décrire la gravitation. Il est donc judicieux de commencer par préciser l'écriture quadrivectorielle correspondante en relativité restreinte avant de généraliser davantage.
: ♦ remarque : pour diminuer l'impact des ambiguïtés de signe liées à la métrique, une autre méthode peut consister à utiliser une première coordonnée imaginaire au lieu des notations co/contra-variantes et de même pour tous les quadrivecteurs, mais ceci ne s'adapte pas à la relativité générale . (fr)
- * Cette étrangeté de signe provient de la façon un peu trop simple avec laquelle l'impulsion est définie en mécanique classique, puis généralisée à la mécanique relativiste quand on n'utilise pas les notations quadrivectorielles. Quand on écrit dans ce cadre : “=” , on l'interprète comme : “=” .
: Or ceci devient ici incohérent, puisque dans un changement de coordonnées , la grandeur contrevariante subit la transformation inverse de celle à appliquer à la quantité covariante .
: On devrait donc maintenant définir ces "impulsions conjuguées" par , afin que cela corresponde à .
* Puisque , pour justifier que ce signe s'applique aussi à , on peut considérer la relation entre l'action et l'énergie-impulsion, avec l'écriture quadrivectorielle : .
: Ceci montre que de façon symétrique .
: ♦ remarque : ceci montre aussi que le changement de signe de ne ferait que déplacer l'étrangeté de signe sur la coordonnée temporelle au lieu des coordonnées spatiales. (fr)
- * D'un premier point de vue, on peut utiliser le fait que pour écrire formellement : .
: On obtient alors : ; ceci n'est pas conforme à la description de Hamilton.
: ♦ remarque : on obtient ici de façon un peu inattendue une expression sans radical.
* Mais pour contourner l'ambiguïté de l'écriture formelle, on peut choisir un paramètre « arbitraire », en notant avec , puis considérer ensuite la limite par continuité.
: Le hamiltonien peut alors s'écrire : .
: En choisissant maintenant une paramétrisation par et en utilisant le fait qu'alors on peut écrire formellement : .
: On obtient alors : ; ceci est conforme à la description de Hamilton.
: ♦ remarque : on obtient ici de façon un peu plus attendue une expression avec radical.
* Tout ceci ressemble toutefois surtout à du bricolage formel, pouvant difficilement servir de base de raisonnement convaincante. (fr)
- * On peut se demander si la démarche utilisée ici peut être applicable au lagrangien avec radical, quitte à utiliser un autre paramètre .
* On considère alors l'action : avec .
: La limite peut être obtenue en substituant : .
: Finalement, ceci correspond forcément à un lagrangien quadratique : .
: Dans la mesure ou ce lagrangien quadratique donne les bonnes équations du mouvement, mais des impulsions incorrectes d'un facteur 2, on le multiplie par un coefficient . (fr)
- * Pour décrire les mouvements des particules chargées, l'interaction entre une particule et le champ se modélise dans l'action par : .
: L'utilisation d'une densité lagrangienne nécessite par contre ici de raisonner avec une densité de charge : avec .
: Le terme d'interaction de l'action peut donc s'écrire :
:: .
:♦ remarque : les intégrations sur et ne peuvent pas être simplement séparées car et doivent être calculés au même point que ; si on intègre d'abord sur on peut utiliser où correspond à la position à l'instant considéré ; on peut obtenir une écriture plus symétrique sur avec où .
* On peut alors définir un quadrivecteur densité de courant : .
: Ainsi le terme d'interaction peut s'écrire : .
:♦ remarque : il est important de noter que, par rapport à la transformation de Lorentz, la densité de charge n'est pas un scalaire ; par ailleurs, le 4-objet n'est pas un 4-vecteur à cause de la dilatation des durées ; il se trouve que les deux effets se compensent et que le produit des deux est un quadrivecteur.
* On obtient ainsi au total : . (fr)
- * On considère ici la variation de l'action correspondant à des variations du potentiel , supposées nulles aux limites du quadri-volume d'intégration .
: Cette variation de l'action peut s'écrire : .
* Le second terme peut s'exprimer : .
: Or le quadrivecteur : a un flux nul à travers l'hypersurface « bordant » le quadri-volume d'intégration , puisque s'y annule.
: D'après le théorème d'Ostrogradski, l'intégrale de sa divergence est nulle : .
: Ainsi en simplifiant : .
* La variation de l'action est donc nulle, quelles que soient les variations au voisinage de l'extremum, si et seulement si est vérifiée la condition : . (fr)
- * Pour contourner l'ambiguïté de l'écriture formelle avec , on peut choisir un paramètre « arbitraire », en notant avec , quitte à considérer ensuite la limite par continuité.
* Les quantités candidates pour définir la quadri-impulsion « conjuguée » semblent alors être : . Le fait de passer par l'intermédiaire de ne change rien . (fr)
- * On obtient :
::
:: ;
:: .
* Par ailleurs : donc . (fr)
- * Les équations du mouvement peuvent s'écrire : .
: Par ailleurs : ; or ne dépend pas explicitement donc : .
: Ainsi : . (fr)
- * On cherche la densité lagrangienne du champ électromagnétique qui est composé du ou des nombres construits à partir du potentiel électromagnétique qui sont invariants par changement de référentiel dans l'espace de Minkowski.
: La manifestation de ce potentiel correspond au champ électrique et le champ magnétique .
* On cherche donc les nombres invariants construits à partir de la matrice 4×4 associée : .
: Les coefficients du polynôme caractéristique sont invariants par la transformation d'endomorphismes , où est la matrice de Lorentz du changement de base dans l'espace de Minkowski, c'est-à-dire de référentiel galiléen en relativité restreinte.
: Les invariants de cette matrice par les changements de base sont les coefficients de son polynôme caractéristique .
: On sait, par la définition de ses coefficients, que cette matrice est anti-symétrique : .
: On en déduit que est un polynôme pair. Soit : .
: Par quelques calculs, on montre que et que .
* Pour une raison de dimension , le nombre ne convient pas , il faudrait essayer avec .
: Mais par ailleurs on peut montrer que est la 4-divergence d'une 4-fonction, donc son ajout à la densité lagrangienne ne changerait en rien les équations d'Euler-Lagrange. Le nombre peut donc aussi être écarté.
:♦ remarque : pour une particule ponctuelle, l'ajout au lagrangien de la dérivée d'une fonction ne change pas les équations car cela ajoute à l'action la variation qui est constante lorsqu'on fait varier l'action ; de même pour une densité lagrangienne, l'ajout de la 4-divergence d'un 4-vecteur ne fait qu'ajouter à l'action le flux du 4-vecteur à travers l'hypersurface limitant le domaine d'intégration, or cette quantité reste constante lorsqu'on fait varier l'action .
* De ce fait, est l'unique candidat à être la densité lagrangienne.
: En choisissant un coefficient multiplicateur qui détermine les unités de mesure du champ électromagnétique, on prend :
:♦ remarque : le signe correspond au choix lié à la minimisation de l'action, ainsi qu'aux choix des signes des autres termes de l'action . (fr)
- * Pour contourner l'ambiguïté de l'écriture formelle avec , on peut choisir un paramètre « arbitraire », en notant avec , quitte à considérer ensuite la limite par continuité.
* Il faut toutefois prendre garde que dans ce cas le paramètre n'est pas « muet ». Dès lors qu'on choisit un paramètre « quelconque » , il faut respecter la condition : . Ceci impose : .
: On peut alors utiliser pour obtenir : .
: Ceci correspond à une quadri-impulsion : . Le résultat pour ne correspond pas à la limite pour .
:♦ remarque : cela était prévisible puisque le passage au lagrangien quadratique utilise une multiplication opportuniste par , inadéquate pour .
:♦ remarque : la paramétrisation directement par est possible sans le coefficient mais elle ne donne pas un lagrangien quadratique. (fr)
- * On peut considérer : .
: Puis en utilisant les équations d'Euler-Lagrange : et le lemme de Schwarz : on obtient :
:: .
: L'égalité permet finalement d'écrire :
:: . (fr)
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| has abstract
| - En relativité restreinte, le principe de moindre action pour un point matériel donne des équations d'Euler-Lagrange très semblables à celles de la mécanique classique, mais le lagrangien n'est plus égal à la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle. En fait, le principe de moindre action se base dans ce cas seulement sur l'existence d'une trajectoire continue, paramétrée par le temps, qui minimise une fonction ou la différence entre des fonctions du système étudié (on peut généraliser à un système de points), déterminées à partir de principes généraux, tels que par exemple :
* Comme la trajectoire dans l'espace-temps ne dépend pas du référentiel par rapport auquel on l'observe, l'action qui la détermine, ainsi que les fonctions qui composent l'action, sont invariantes par changement de référentiel.
* L'indépendance de plusieurs corps implique l'additivité de leurs actions et de leurs lagrangiens, pour que les trajectoires puissent être déterminées séparément en appliquant la méthode variationnelle. Il se trouve qu'en physique classique, ces fonctions du système sont les énergies cinétiques et potentielles, ce n'est plus le cas en relativité. En physique relativiste, et en l'absence de champ électromagnétique, on montre que la fonction du corps qui est minimisée dans le principe est particulièrement simple : il s'agit de où est « temps propre » du trajet (temps s'écoulant dans le référentiel du corps au cours du trajet).Minimiser l'action revient à maximiser le « temps propre », du fait du signe , que la masse est positive et constante, et de la constance de la vitesse de la lumière .Cela est aussi lié à la « longueur généralisée » de la trajectoire, mesurée par la métrique de l'espace-temps de Minkowski[pas clair]. Un champ électromagnétique amène des différences de parcours entre les corps, suivant leurs charges et leurs répartitions. Et comme en physique classique, toutes les équations peuvent être obtenues sans le principe de moindre action. (fr)
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