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| - Conjecture d'Iliev-Sendov (fr)
- Sendov's conjecture (en)
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| - La conjecture d'Iliev-Sendov est une relation entre les racines d'un polynôme à coefficients complexes, et les racines du polynôme dérivé, et doit son nom à (en) et Lyubomir Iliev, deux mathématiciens bulgares. Elle énonce que, si P est un polynôme dont les racines r1, ..., rn sont dans le disque unité fermé (c'est-à-dire, de module au plus 1), alors chaque racine rk est à une distance inférieure ou égale à 1 d'une racine de P'. À noter que d'après le théorème de Gauss-Lucas, les racines de P' sont dans l'enveloppe convexe des rk, et donc a fortiori dans le disque unité. (fr)
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| - La conjecture d'Iliev-Sendov est une relation entre les racines d'un polynôme à coefficients complexes, et les racines du polynôme dérivé, et doit son nom à (en) et Lyubomir Iliev, deux mathématiciens bulgares. Elle énonce que, si P est un polynôme dont les racines r1, ..., rn sont dans le disque unité fermé (c'est-à-dire, de module au plus 1), alors chaque racine rk est à une distance inférieure ou égale à 1 d'une racine de P'. À noter que d'après le théorème de Gauss-Lucas, les racines de P' sont dans l'enveloppe convexe des rk, et donc a fortiori dans le disque unité. La conjecture a été publiée pour la première fois en 1967, dans le livre Research problems in function theory de Walter Hayman. Elle a été démontrée pour les polynômes de degré au plus 6 en 1991, puis de degré au plus 8 en 1999, mais n'est toujours pas complètement démontrée en 2020. Entre 2002 et 2003, Gerald Schmieder a présenté plusieurs démonstrations de cette conjecture, qui ont toutes été ensuite invalidées. En 2020, une importante avancée a été obtenue par Terence Tao, démontrant le résultat pour des polynômes de degré suffisamment grand. (fr)
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