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| - Différentiel généralisé (fr)
- Generalized Jacobian (en)
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| - En mathématiques, et plus spécifiquement en , on appelle différentiel généralisé ou différentielle généralisée les différentes notions généralisant aux fonctions non dérivables dans un sens classique, la notion de différentielle des fonctions différentiables au sens de Fréchet. Les fonctions considérées ne sont le plus souvent que localement lipschitziennes. Lorsque la fonction est convexe à valeurs réelles, on retrouve généralement le concept de sous-différentiel. (fr)
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| - En mathématiques, et plus spécifiquement en , on appelle différentiel généralisé ou différentielle généralisée les différentes notions généralisant aux fonctions non dérivables dans un sens classique, la notion de différentielle des fonctions différentiables au sens de Fréchet. Les fonctions considérées ne sont le plus souvent que localement lipschitziennes. Lorsque la fonction est convexe à valeurs réelles, on retrouve généralement le concept de sous-différentiel. La notion de dérivée est fondamentale en analyse fonctionnelle car elle permet d'approcher localement des fonctions par des modèles linéaires, plus simples à étudier. Ces modèles fournissent des renseignements sur les fonctions qu'ils approchent, si bien que de nombreuses questions d'analyse passent par l'étude des fonctions linéarisées (stabilité, inversibilité locale, etc). Le , dont il est principalement question ci-dessous, est une notion décrivant le comportement local d'une fonction en un point. Si la fonction est dérivable en ce point (il faut un peu plus que cela en réalité), ce différentiel se confond avec la dérivée. Sinon c'est un ensemble d'approximations linéaires censées décrire toutes les possibilités de variation infinitésimale de la fonction. Ce différentiel est donc sujet à des variations brusques qui apparaissent lorsqu'on quitte un point de non-différentiabilité. On montre toutefois que, en tant que fonction multivoque, le différentiel de Clarke garde la propriété de semi-continuité supérieure. (fr)
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