About: Locally convex topological vector space

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rdfs:label	Espace localement convexe (fr) Espaço localmente convexo (pt) Locally convex topological vector space (en) Lokaal convexe topologische vectorruimte (nl) Lokalkonvexer Raum (de) Spazio localmente convesso (it) Локально выпуклое пространство (ru)
rdfs:comment	En mathématiques, un espace localement convexe est un espace vectoriel topologique dont la topologie peut être définie à l'aide d'une famille de semi-normes. C'est une généralisation de la notion d'espace normé. (fr)
rdfs:seeAlso	http://mathworld.wolfram.com/LocallyConvex.html http://mathworld.wolfram.com/LocallyConvexSpace.html https://ncatlab.org/nlab/show/locally_convex_topological_vector_space
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prop-fr:contenu	Il s'agit de prouver qu'inversement, T ⊂ T . Il suffit pour cela de montrer que tout T-voisinage V de 0 contient un T -voisinage de 0. (fr) * ⇒ (fr) Soient T la topologie de E, supposée vérifier , et T ' celle, moins fine, définie par la famille de toutes les semi-normes sur E continues pour T. (fr) Or pour un tel V, par continuité de l'application ↦ λv, il existe un réel α > 0 et un T-voisinage W de 0, que l'on peut supposer convexe d'après , tels queV contient alors l'ensemble Ω défini parDe plus, Ω est voisinage de 0 , convexe, et équilibré. sa jauge est donc une semi-norme continue sur E, dont la boule de centre 0 et de rayon est par conséquent un T '-voisinage de 0. Or cette boule est incluse dans Ω, donc dans V. (fr) En effet toute semi-norme p sur E est une fonction convexe et donc pour tout R > 0, l'ensemble des x de E vérifiant p < R est convexe. * ⇒ (fr)
prop-fr:titre	Démonstration de l'équivalence des deux définitions (fr)
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has abstract	En mathématiques, un espace localement convexe est un espace vectoriel topologique dont la topologie peut être définie à l'aide d'une famille de semi-normes. C'est une généralisation de la notion d'espace normé. (fr)
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